«Оценки решений краевой задачи для одного эллиптического дифференциального уравнения»

где - функции только и .Если коэффициенты уравнения (2) не зависят от и , то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если

.

С помощью преобразования переменных

мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному.

При получаем уравнение гиперболического типа ;

при - эллиптического типа ;

при - параболического типа ;

замыкание . = .

-класс ( -неотрицательное целое число) функций , имеющих частные производные до порядка m, непрерывные в .

-класc (m-неотрицательное целое число, функций таких, чтo их производные порядка , удовлетворяют в условию Гельдера с показателем ([6], гл.4, стр.330).

-банахово пространство, состоящее из всех элементов , имеющих обобщенные производные всех видов до порядка включительно, суммируемые по со степенью .

1.2 Принцип максимума для эллиптических уравнений

Пусть коэффициенты уравнения

(1.1)

и свободный член определены в ограниченной области и принадлежит пространству , .

Уравнение (1.1) называется эллиптическим, если выполняется условие

(1.2)

([1], гл. З, стр.145).

Принцип максимума. Если функция удовлетворяет условию где

принимает максимальное значение во внутренней точке, то

([6], гл.4, стр.324).

Следовательно, максимум любой функции , непрерывной в и удовлетворяющей условию в , достигается на границе Г. Можно сформулировать аналогичный принцип минимума.

Следствие. Пусть функция удовлетворяет в уравнению

(1.3)

если функция достигает внутри области положительногo максимума, то . Следовательно, если функция непрерывна в , неположительна на Г и удовлетворяет условию в , то в .

Для доказательства этого следствия предположим, что функция имеет положительный максимум во внутренней точке .

Поскольку функция непрерывна, то она положительна в некоторой окрестности точки , но в этой окрестности так как и, поэтому, в силу принципа максимума, . Таким образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в . С другой стороны, в силу непрерывности функции , оно одновременно замкнуто в , и следовательно, совпадает с . Отсюда следует, что функция всюду в равна некоторой положительной постоянной. Доказательство принципа максимума опирается на следующую лемму.

Лемма. Пусть - открытый шар и - точка на границе. Предположим, что коэффициенты оператора ограничены в и что существует положительная постоянная , такая, что неравенство

(1.4)

выполняется для всех , и для всех точек из . Далее, предположим, что функция дважды непрерывно дифференцируема в непрерывна в и удовлетворяет в условиям и . Тогда производная по внешней нормали в точке понимаемая как нижний предел выражения , положительна.

Доказательство. Пусть - меньший шар, касающийся в точке изнутри. Тогда является единственной точкой максимума функции в замыкании шара . Возьмем начало координат шара и положим обозначает расстояние между точкой и началом координат. Обозначим через пересечение с фиксированным шаром с центром в точке , и радиусом, меньшим чем . Граница состоит из сферических сегментов границ и , которые мы обозначим через и соответственно. Теперь мы введем вспомогательную функцию

положительную в * и равную нулю на границе этого шара. При достаточно больших мы можем сделать выражение

положительным внутри ; действительно, в силу (1.4) форма

строго положительна в , так как r строго положительно. На функция меньше, чем и, следовательно, она строго меньше, чем . Поэтому для достаточно малого фиксированного  функция

на меньше, чем . Рассмотрим теперь функцию в области . Внутри мы имеем достигается на границе области . Но на и на (за исключением точки ); кроме того, . Таким образом, достигается в точке . Отсюда следует, что в

и поскольку , то

лемма доказана.

Теперь легко получить принцип максимума. Пусть функция в удовлетворяет условию . Если имеет внутреннюю точку максимума, то можно найти шар, целиком лежащий в и такой, что на его границе лежит точка максимума функции , а внутри точек максимума нет. В силу леммы, в этой точке а это противоречит тому факту, что первые производные функции обращаются в нуль во внутренней точке максимума.

Как мы замечали ранее, из принципа максимума следует, что любая функция, удовлетворяющая в условию , принимает максимальное значение в граничной точке. Если в существует шар , такой, что точка максимума в лежит на его границе, и если в шаре коэффициенты оператора ограничены и удовлетворяют условию (1.4), то лемма и принцип максимума дают следующий полезный результат: либо в , либо производная по внешней нормали в точке положительна.

Этот результат дает нам также простое доказательство единственности решения второй краевой задачи, или задачи Неймана, для уравнения . Чтобы доказать единственность, мы должны показать, что любое решение уравнения , удовлетворяющее на Г условию и обращающееся в нуль в точке Р, тождественно обращается в нуль и, следовательно, . Мы предположим, что коэффи-

циенты оператора ограничены в и удовлетворяют условию (1.4) и что в любой точке на Г мы можем найти открытый шар , целиком лежащий в и такой, что точка находится на границе этого шара. Если есть решение, то из принципа максимума следует, что принимает максимальное и минимальное значения в некоторых точках границы Г. В силу наших предыдущих рассуждений в этих точках производная соответственно положительна или отрицательна, если u не является тождественной константой. Но , следовательно, в ; кроме того, тождественно обращается в нуль, так как в .

Принцип максимума можно применять не только для доказательства единственности решения уравнения (1.3), принимающего заданные граничные значения на границе Г области , но и для оценки функции .

Мы утверждаем, что если функция g удовлетворяет условиям в и на Г, то в .

Для доказательства достаточно показать, что функции и неположительные. Но это вытекает из следствия принципа максимума, так как функция удовлетворяет условию

и так как на границе Аналогично доказывается, что

Теперь мы построим такую функцию , предполагая для удобства, что

область лежит в полупространстве . Мы будем считать, что существуют такие положительные постоянные , что всюду в выполняется неравенства

,

Положим

причем в , a -положительная постоянная, выбранная так, чтобы функция удовлетворяла поставленным условиям. Ясно, что . Кроме того, при достаточно больших

Выбор зависит только от и .

Для решения уравнения (1.3), удовлетворяющего граничным условиям , справедлива оценка

(1.5)

где - постоянная, зависящая только от m и b, а - такая постоянная, что в . Даже не предполагая, что , можно получить оценку вида

(1.6)

если область - достаточно узкая в некотором направлении, например или, более точно, если

(1.7)

(Тогда постоянная зависит от , , и ). Действительно, в этом

случае мы можем записать уравнение в виде

где и применить априорную оценку (1.5). Получим

или

Заметим, что из оценки (1.6) следует единственность решения краевой задачи.