«Оптимальный нагрев пластины с учетом ограничений на термонапряжения»

Условно имеющиеся работы по оптимальному нагреву с учетом фазовых ог-раничений можно подразделить на две группы. К первой относятся работы, использующие общие методы по решению этих задач; такие как метод штрафных функций, метод последовательной линеаризации Р.П.Федоренко[4], градиентные методы.

Полученные результаты метода последовательной линеаризации при реше-нии квазилинейных одномерных задач оптимального нагрева носят характер вычислительных экспериментов. В работе исследована двумерная задача оп-тимального по быстродействию индукционного нагрева цилиндра конечной длины с учетом ограничений на термонапряжения. Уравнения Максвелла-Фурье, описывающие процесс индукционного нагрева, и уравнения Дюаме-ля-Неймана, описывающие ограничения на термонапряжения, аппроксими-руются методом конечных элементов и дифференциальная задача заменяется задачей нелинейного программирования. Последняя решается с использова-нием градиентных методов в предположении наличия не более двух пере-ключений управляющего параметра. Метод конечных элементов приводит к громоздкому и трудоемкому алгоритму, сходимость которого не доказана.

Ко второй группе работ можно отнести методы, направленные непо-средственно на решение задачи с фазовыми ограничениями. В этих работах поиск оптимального по быстродействию управления сводится к поиску до-пустимых режимов. В первоначальном варианте был предложен инженерный способ параметрической оптимизации, основанный на аналитическом реше-нии задач теплопроводности и термоупругости с последующим сравнением найденных максимальных температур с допустимыми . В дальнейшем такой способ был распространен на одномерные задачи оптимального управления в классе непрерывных функций. В работе [5] рассматриваются задачи одно-мерного оптимального нагрева с учетом сжимающих и растягивающих тер-монапряжений и линейной зависимости предела прочности от температуры. Предположив, что оптимальный нагрев можно осуществить, двигаясь только по верхним границам наложенных ограничений, решение исходной задачи на отдельных этапах удается свести либо к обычной, либо к неклассической за-даче теплопроводности (вместо условий теплообмена на границе задаются термонапряжения). Таким образом , определяется допустимый температур-ный режим нагрева и с помощью граничных условий находится оптимальное по быстродействию управление. Такой подход опирается на заранее извест-ный вид оптимального управления и на одномерность задачи.

Постановка задачи оптимального по быстродействию управления нагре-вом при постоянных ограничениях на управление и термоупругие напряже-ния приводится в работах [6,7-9,10,11]. В них решение одномерной задачи быстродействия сводится к решению задачи оптимального управления сис-темой, описываемой бесконечномерной системой обыкновенных дифферен-циальных уравнений с линейными ограничениями на фазовые переменные. Последняя аппроксимируется конечномерной задачей оптимального быстро-действия с линейными фазовыми ограничениями, конструктивные методы , решения которой указаны лишь для двух-трех уравнений. Вопросы сходимо-сти конечномерных аппроксимаций в этих работах не затрагивались.

Задачи оптимального по быстродействию управления одномерными не-стационарными температурными режимами с помощью внутренних источ-ников тепла освещены в работах [12,2,13]. В работах [12,13] приведен инже-нерный способ, позволяющий в аналитическом виде выписать функцию управления. В работе [2] предложен алгоритм поиска оптимального по быст-родействию управления в предположении, что заранее известен вид опти-мального управления и что фазовые ограничения действуют лишь в опреде-ленной последовательности.

Двумерные задачи оптимального нагрева внутренними источниками для случая неограниченных областей (таких как пространство, полупространство и неограниченный слой) изучались в работе [5]. Пользуясь тем, что для ука-занных областей зависимость термонапряжений от температуры выписыва-ется явно в виде интегральных соотношений, задача определения управления , минимизирующего функционал определенного вида, была сведена к решению трехмерного интегрального уравнения первого рода.

В этой работе исследуются одномерные задачи оптимального управления внешним и индукционным нагревом с учетом ограничений на растягиваю-щие и сжимающие термонапряжения ,на среднеинтегральную и наибольшую температуры . При этом учитывается зависимость прочностных характери-стик от температуры.(Во многих работах они считались постоянными).Из такого предположения следовало, что при нагреве хрупких тел к разрушению приводят растягивающие напряжения ,на которые как правило накладыва-лись ограничения в расчетах. Однако у многих материалов величина предела прочности с увеличением температуры значительно уменьшается. Так как в процессе нагрева поверхностные слои прогреваются значительно быстрее, чем внутренние ,то ,как правило ,такие материалы разрушаются от сжимаю-щих напряжений, хотя по абсолютной величине они остаются меньше растя-гивающих.От свойств нагреваемого материала и режима нагрева зависит ка-кое напряжение приведет его к разрушению .

В первой главе изучается задача оптимального нагрева внешними ис-точниками неограниченной пластины с учетом ограничений на термонапря-жения и предельно допустимую температуру тела. В предположении посто-янства теплофизических и механических коэффициентов за исключением пределов прочности и текучести, которые аппроксимируются линейными функциями, исходная задача при помощи метода интегральных преобразова-ний сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с ли-нейными фазовыми ограничениями. Бесконечномерной задаче ставится в со-ответствие конечномерная. Показано, что конечномерные приближения схо-дятся по функционалу быстродействия, соответствующие им управления слабо в сходятся к множеству оптимальных управлений. Выписаны оцен-ки погрешности нормы по состоянию в пространстве .

Во второй главе изложен алгоритм корректировки опорной гиперпло-скости. Этот алгоритм позволяет эффективно решать задачи линейного быст-родействия, описанные системой дифференциальных уравнений как при от-сутствии, так и при наличии фазовых ограничений. Приведены результаты вычислительных экспериментов, которые подтверждают эффективную рабо-ту алгоритма корректировки опорной гиперплоскости, как при наличии, так и при отсутствии фазовых ограничений.

Процесс осесимметричного нагрева неограниченной пластины (q=0) внешними тепловыми источниками описывается следующими уравнениями:

= [ + ] ( 1.1)

0начальное условие:

T(r,0)=T =const,0 r R ,

и краевые условия, описывающие теплообмен на границе по закону Ньютона

= (V(t)-T(R ,t)), t (0, ], (1.3)

=0, t (0, ], (1.4)

где T-температура ( С), t-время (с.), -коэффициент температуропроводно-сти (м /с), R-половина толщины пластины (м), -коэффициент теплопро-водности (Вт/(м град.)),V(t)- управление ( С), V(t) L [0, ].По условию, наше нагреваемое тело в процессе нагрева не должно получать необратимые деформации. В настоящей работе нагреваемые материалы делятся на две группы: те, которые разрушаются хрупко, без каких-нибудь заметных де-формации и на тех, которые переходят под воздействием термонапряжений в пластическое состояние.

Известно [15], что если нагреваемое тело разрушается хрупко, то ограни-чения на термонапряжения запишутся в виде

- , (1.5)

где б -значения пределов прочности на растяжение и сжатие, , i =x,y,z- главные компоненты тензора напряжений, записанные в де-картовой системе координат.

Но на практике не всегда можно считать, что нагреваемый материал раз-рушается хрупко. Кривая деформирования ,для многих материалов, такова, что вначале тело деформируется упруго, затем осуществляется переход в пластическое состояние и лишь затем разрушается[14]. Так как переход от участка упругости к зоне появления пластических деформаций для боль-шинства материалов носит плавный характер, то принята определенная гра-ница , после которой пластические деформации признаются существенными. Такой границей выбрано значение остаточной деформации 0.2 %.

Здесь -растягивающее напряжение, -относительное удлинение.

Напряжение, соответствующее остаточной (пластической ) деформации 0.2 % называется пределом текучести или пределом пластичности и обозначает-ся [14].Величина предела текучести зависит от температуры и с уве-личением температуры уменьшается. Процесс снижения происходит при-мерно также как и снижение предела прочности.[14,c.87].

Процесс нагрева должен осуществляться так, чтобы тело не получило бы обратимых деформаций. Математически такое требование в случае, когда на-греваемый материал обладает свойствами пластичности, записывается как ограничение на интенсивность термонапряжений, т.е. в виде неравенст-ва(1.6):

( - ) +( - ) +( - ) +6( + + ) 2 (T)

где , , , , , -безразмерные компоненты тензора напряже-ний(в декартовой системе координат).

Задача термоупругости в квазистатической постановке и в предположе-нии, что – коэффициент линейного расширения, Е –модуль упругости, не зависят от температуры, решается аналитически [16,17]. - коэффициент Пу-ассона (безразмерная величина). Анализ термонапряжений показывает, что в

условиях рассматриваемой задачи растягивающие напряжения наибольших значений достигают на оси, а сжимающие – на поверхности нагреваемой де-тали. С учетом вышесказанного, ограничения на термонапряжения для слу-чая пластины можно записать в виде

= = [-Т(r,t)+ - ], (1.7 )

где Г=0 для жесткого защемления от поворота краев пластины, Г=1 для сво-бодных от поворота краев, Г (0,1) для промежуточного состояния.

Анализ термонапряжений показывает, что при осесимметричном нагреве растягивающие напряжения наибольших значений достигают на оси ,а сжи-мающие –на поверхности нагреваемых тел. Итак, из вышесказанного ограни-чения на термонапряжения (1.5) можно переписать в виде:

[-Т(0,t)+ - ] (Т(0,t))

(1.8)

[Т(R,t)+ - ] (Т(R,t))

Исследуем ограничения на термонапряжения в случае нагрева пластич-ных материалов. Как следует из работ [16,5,17]

= = = = , = , (1.9)

Ограничение (1.6) на интенсивность термонапряжений можно записать в ви-де

(1.10)

определяется по формуле (1.7),учитывая, что >0, неравенство (1.10) запишется в виде

[-Т(0,t)+ - ] (Т(0,t))

(1.11)

[Т(R,t)+ - ] (Т(R,t))

Кроме выполнения вышеперечисленных неравенств потребуем также выполнения ограничений на среднеинтегральную температуру

(1.12)

и ограничений на максимальную температуру тела ,которая в рассматривае-мой задаче достигается на поверхности

T(R,t) T . (1.13)

Запишем рассматриваемые соотношения в безразмерных единицах. С этой целью введем следующие безразмерные переменные (1.14)

-безразмерная пространственная координата, r -текущая пространст-венная координата ,R-толщина или радиус изделия, - безразмерная температура, -безразмерное время, -критерий Био, ,

, ,

, -безразмерные пределы прочности на растяже-ние и сжатие соответственно, Е-модуль Юнга, -коэффициент Пуассона.

, , , .,где

Т - базовая температура.

В указанных обозначениях тепловое поле описывается следующими соотно-шениями:

= + , l (0,1),0< T, (1.15)

, [0, 1], (1.16)

= , 0<

(1.17)

, q=0, 0< T, где

-управление и почти при всех принимает значения из отрез-ка [ ]. Множество таких управлений обозначим через U.

Введем обозначения

= (1.18)

в случае хрупкого разрушения и для пластичных материалов соответственно

=

в случае хрупкого разрушения и для пластичных материалов соответственно

С учетом введенных обозначений неравенств (1.8),(1.11) в безразмерных единицах перепишутся в виде

- + - ,q=0,(1.19)

+ - ,q=0 (1.20)

Ограничения (1.12),(1.13) в новых обозначениях записывается в виде . (1.21)

(1.22)

Аппроксимировав зависимости и линейными функциями

= ,

(1.23)

=

Неравенства (1.19)-(1.20) можно записать в виде

+ , (1.24)

- + , (1.25)

где Г [0,1], q=0.

§2. Применение метода интегральных преобразований. Эквивалентная задача оптимального быстродействия

Используя конечные интегральные преобразования Фурье-Ханкеля по координате , можно получить эквивалентное представление объекта управ-ление бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения в ряд Фурье по собственным функ-циям тепловой задачи.

При q=0 по координате применяется конечное косинус преобразова-ние Фурье, т.е. преобразование [18].

2. Реализация алгоритма

2.1. Описание программы

Программа состоит из 2 функций и 7 процедур.

С помощью функции dif описывается система дифференциальных уравнений.

Функция norma вычисляет расстояние от заданной точки до .

Процедура rung интегрирует сопряженную систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка и вычисляет управление.

Процедура rung1 интегрирует исходную систему обыкновенных диф-ференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка при за-данном управлении.

Процедура punkt1 строит опорную гиперплоскость к множеству G(k) с нормалью –xk(k) и находит опорную точку .

В процедуре punkt2 находится момент времени k+1 – новое приближе-ние времени быстродействия.

Процедура punkt3 «подтягивает» точки x(j)G(k) в множество G(k+1).

Процедура punkt5 находит точку , ближайшую к и находит соот-ветствующее управление.

Процедура zamena заменяет в базисе {x(j)} самую близкую точку точкой , и самую удаленную точку – точкой .

2.2. Результаты вычислительных экспериментов

Приведем результаты вычислительных экспериментов для следующей задачи:

Задача. Найти управление u=u()L2, |u|1,переводящее систему

из положения (1,0) в положение (0,0) за минимальное время.