«Методическое обеспечение курса «высшая математика» для студентов направления «электроника и наноэлектроника»»

В первой главе «Степенные ряды» рассматриваются функциональные ряды (основные понятия), сходимость степенных рядов (теорема Н. Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда, свойства степенных рядов), разложение функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена, разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)), некоторые приложения степенных рядов (приближенное вычисление значений функции, приближенное вычисление определенных интегралов, приближенное решение дифференциальных уравнений). Во второй главе изучаются ряды Фурье, периодические функции и процессы, разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций, четных и нечетных функций, функций произвольного периода, теорема Дирихле, представление непериодической функции рядом Фурье, комплексная форма ряда Фурье, интеграл Фурье. В третьей главе изучаются дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков. Четвертая глава изучает элементы теории функции комплексного переменного, основные элементарные функции комплексного переменного, предел и непрерывность функции комплексного переменного, дифференцирование функции комплексного переменного, условия Эйлера-Даламбера, аналитическая функцию, дифференциал, геометрический смысл модуля и аргумента производной, понятие о конформном отображении, интегрирование функции комплексного переменного, ряды в комплексной плоскости, понятие вычета и основная теорема о вычетах, вычисление вычетов, применение вычетов в вычислении интегралов.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от . Определяется она в области сходимости равенством

частичная сумма ряда.

Пример 1.1. Найти область сходимости ряда

Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна :

Пример 1.2. Исследовать сходимость функционального ряда

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

Так как при любом имеет место соотношение , а ряд с общим членом сходится (обобщенный гармонический ряд, ), то по признаку сравнения ряд (1.2) сходится при . Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента , т. е. так называемый степенной ряд:

Действительные (или комплексные) числа , , ,…, ,. называются коэффициентами ряда (1.3), - действительная переменная.

Ряд (1.3) расположен по степеням . Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням ( ), т. е. ряд вида

где — некоторое постоянное число.

Ряд (1.4) легко приводится к виду (1.3), если положить Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (1.3).

§2. Сходимость степенных рядов

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (1.3). Область сходимости степенного ряда (1.3) содержит по крайней мере одну точку: (ряд (1.4) сходится в точке ).

2.1. Теорема Н. Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема 2.1 (Абель). Если степенной ряд (1.3) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству

По условию ряд

сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т. е. найдется такое число , что для всех выполняется неравенство ,

Пусть , тогда величина и, следовательно,

т. е. модуль каждого члена ряда (1.3) не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд (1.3) абсолютно сходящийся.

Следствие 2.1. Если ряд (1.3) расходится при , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству .

Действительно, если допустить сходимость ряда в точке для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех , для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.