«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «геометрия» для студентов направления «прикладная математика и физика»»

Изложение курса согласовано с программой математического анализа.

В курсе геометрии уделено большое внимание профессиональной направленности, в частности, решению задач по основным разделам геометрии.

В связи с этим изложение теоретического материала сопровождается примерами, дается приложение изучаемых методов к доказательству теорем и решению задач по геометрии.

Первая глава посвящена комплексным числам. Здесь рассматриваются тригонометрическая форма комплексного числа, операции над комплексными числами в тригонометрической форме, показательная форма комплексного числа.

Во второй главе рассматриваются алгебраические операции, алгебраические системы, группы, кольца, поля.

В главе третьей рассматриваются следующие вопросы: преобразование плоскости, отображение, композиция отображений, линейные отображения, образ вектора при линейном отображении, аффинные преобразования плоскости.

Четвертая глава посвящена видам движений: параллельному переносу, повороту, осевой симметрии, скользящей симметрии, рассматривается классификация движений и их групповые свойства, подобия, групповые свойства подобия.

В пятой главе рассматриваются различные уравнения плоскости в пространстве, расстояние от точки до плоскости, взаимное расположение двух плоскостей, угол между двумя плоскостями, уравнения прямых в пространстве, взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между двумя прямыми, прямой и плоскостью, расстояние от точки до прямой, между двумя скрещивающимися прямыми, взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Присоединим полярную систему координат к прямоугольной декартовой так, чтобы полярная ось совпала с осью Ох, начало координат - с полюсом О. Тогда одна и та же точка М будет определяться декартовыми координатами (x,y) и полярными координатами r и . Установим связь между этими координатами

(1)

То есть, другими словами, если известны полярные координаты точки и , то по формуле (1) декартовы координаты определяются однозначно. Если же известны декартовы координаты (x,y), то можно найти полярные координаты.

(2)

Зная значения и , определим угол .

Пример.

Пусть на плоскости имеется точка .

Ей соответствует комплексное число

,

.

Пусть дано комплексное число в алгебраической форме

(3)

- тригонометрическая форма комплексного числа.

Часто операции умножения, деления, возведение в степень и извлечение из корня удобнее проводить в тригонометрической форме.

Операции над комплексными числами

в тригонометрической форме

1) умножение

Пусть даны два комплексных числа и

Найдем произведение этих чисел

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если рассмотреть , то получим следующее:

Возведение в n-ую степень

Пример.

Найти

2) Деление комплексных чисел

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме аргументы вычитаются, а модули делятся.

Пример.

-i ↔ M(0;-1)

3) Извлечение корня.

При извлечении n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме и получаем комплексное число в тригонометрической форме.

Возведем обе части в n-ую степень:

Два комплексных числа равны, когда равны их модули и аргументы, т.е.