Дипломная работа
«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу»
- 114 страниц
Введение. 5
Глава 1. Топологические пространства. 6
§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств. . . 6
§2. Понятия в топологическом пространстве. База топологии. . 7
§3. Структура открытых множеств и окрестностей. . . . . . . . 10
§4. Метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§5. Замыкание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§6. Внутренние точки, внутренние границы. . . . . . . . . . . . 14
§7. Сепарабельное топологические пространства . . . . . . . . . 16
§8. Индуцированная топология. Отделимые пространства. . . . 18
§9. Непрерывное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§10. Компактные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Глава 2. Свойства метрических пространств. 22
§1. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. 22
§2. Критерий полноты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§3. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема
Хаусдорфа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§4. Отображение компактных множеств. . . . . . . . . . . . . . 31
§5. Критерий компактности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§6. Принцип сжимающих отображений и его применение. . . . . 36
§7. Теорема Бэра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава 3. Мера и измеримые множества. 41
§1. Измеримые множества. Мера. Системы множеств. . . . . . . 41
§2. Cистема множеств в евклидовом пространстве. . . . . . . . 42
§3. Функции множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§4. Мера и её простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве.
45
§5. Внешняя мера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§6. Измеримые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§7. Сходимость почти всюду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§8. Сходимость по мере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§9. Единственность предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Глава 4. Интеграл Лебега. 60
§1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на
пространстве с конечной мерой. . . . . . . . . . . . . . . . 60
§2. Свойства интеграла( от ограниченных функций). . . . . . . 63
§3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае. . . . 67
§4. Предельный переход под знаком интеграла. . . . . . . . . . . 71
§5. Лемма Фату. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Глава 5. Нормированные и гильбертовы пространства. 75
§1. Нормированное линейное пространство. . . . . . . . . . . . . 75
§2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность.
Теорема Рисса локальной компактности. . . . . . . . . . . 77
§3. Гильбертово пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§4. Ортогональность и ортогональное дополнение . . . . . . . . 79
§5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . 80
Глава 6. Линейные операторы в нормированных пространст-
вах. 83
§1. Линейные операторы, непрерывность, ограниченность. . . . 83
§2. Пространство всех линейных непрерывных операторов. . . . 85
§3. Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза. 86
§4. Обратные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§5. Замкнутый оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§6. Теорема Банаха о замкнутом графике. . . . . . . . . . . . . 91
§7. Сопряженные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§8. Сопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§9. Самосопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Глава 7. Спектральная теория операторов. 100
§1. Вполне непрерывный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
§2. Уравнения первого и второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . 101
§3. Альтернативы Фредгольма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§4. Спектр и резольвента. Теорема Гильберта - Шмидта. . . . . 108
Заключение. 113
Литература 114
Данная выпускная квалификационная работа представляет собой курс лекций по дисциплине
"Функциональный анализ и может быть использована при подготовке к занятиям. В ее основу положены лекции, прочитанные студентам специальностей "Прикладная математика и инфор-
матика". В работе изложены основные понятия, определения, свойства и теоремы, доказательства перечисленных выше разделов.
Для создания дипломной работы используется текстовый редактор LaTeX, который имеет ряд преимуществ таких, как включение в текст сколь угодно сложных математических формул, которые прекрасно смотрятся на печати; при печати получается текст типографического качества и т.д.
Весь курс лекций подразделен на семь глав, которые подразделяютсяна параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, замечаниям, примерам. В первой главе рассматриваются топологические пространства. Во второй главе изучается свойства метрических пространств. Рассматриваются такие теоремы как: Теорема Хаусдорфа, теорема Бэра. В третьей главе изучаются мера и измеримые множества. В ней рассматриваются такие темы как: измеримые множества, мера, системы множе ств в евклидовом пространстве, внешняя мера, измеримые множества, сходимости, единственность предела. В четвертой главе изучается интеграл Лебега. В эту главу включены такие
темы как: интеграл Лебега, свойства интеграла Лебега, лемма Фату. В пятой главе рассматриваются нормированные и гильбертовы пространства.
В шестой главе линейные операторы в нормированных пространствах. В седьмой главе рассматривается спектральная теория операторов.
ГЛАВА 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств.
В курсе функциональный анализ будут рассматриваться множества чисел, множества точек, множества линий, множества функций и т.п.
Множества обозначаются большими буквами A,B,C,M и т.д. Объекты, из которых состоит множество называются элементами множества. Мы будем обозначать их малыми буквами: a, b, c. Запись a ∈ A означает, что a есть элемент множества A. Запись ∅ – пустое множество. Запись A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A называют подмножеством
множества B. Запись ∪
A - объединение множеств. Запись ∩
A - пересечение множеств. Запись ∞Σn=1
An - дизъюнктное объединение множеств.
Отображением φ множества M1 в множество M2 обозначается: φ : M1 → M2. Образ элемента x при отображении φ обозначается: x : φ(x) Совокупность всех тех элементов a ∈ M1, образом которых является данный элемент b ∈ M2, называется прообразом элемента b при отображении φ : M1 → M2 и обозначается через φ−1(b). Таким образом, φ−1(b) = {a ∈ M1 : φ(a) = b}. Отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией,если φ(M1) = M2.
Теорема 1.1. (о прообразах). Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов со ответственно:
ϕ−1(A ∪ B) = ϕ−1(A) ∪ ϕ−1(B)
ϕ−1(A ∩ B) = ϕ−1(A) ∩ ϕ−1(B)
Теорема 1.2. (об образах). Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:
ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) ∪ ϕ(B)
Основными источниками при написании выпускной квалификационной работы послужили конспекты лекций по функциональному анализу. Данная работа была набрана и отредактирована в среде LaTeX. Для изучения данной программы использовались следующие монографии:
К.В. Воронцов "LATEX в примерах"и С.М. Львовский "Набор и верстка в системе LaTeX".
В результате проделанной работы был составлен обзор по курсу функциональный анализ. Работа содержит необходимый теоретический материал в виде основных понятий, теорем, доказательств.
Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу функциональный анализ для студентов специальностей "Прикладная математика и информатика".
[1] В. Босс. Лекции по математике, том5 – М.: Наука, 2005. - 448с.
[2] Б. З. Вулих. Введение в функциональный анализ – М.: Наука, 1967. - 296с.
[3] А. Н. Колмагоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа – М.: Наука, 2004. - 329с.
[4] С.С. Кутателадзе. Основы функционального анализа – М.: Наука, 2000. - 466с.
[5] Л. В. Канторович, Г.П. Акимов. Функциональный анализ – М.: Наука, 1984. - 208с.
[6] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. – М.: Наука, 1982.
[7] С.М. Львовский. Набор и верстка в пакете LaTeX. – М.: МЦНМО, 2003.
[8] К.В. Воронцов. LaTeX в примерах, 2005.
Форматы: *.pdf, *.tex *
| Тема: | «Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу» | |
| Раздел: | Математика | |
| Тип: | Дипломная работа | |
| Страниц: | 114 | |
| Цена: | 1900 руб. |
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
- Цены ниже рыночных
- Удобный личный кабинет
- Необходимый уровень антиплагиата
- Прямое общение с исполнителем вашей работы
- Бесплатные доработки и консультации
- Минимальные сроки выполнения
Мы уже помогли 24535 студентам
Средний балл наших работ
- 4.89 из 5
написания вашей работы
682 автора
помогают студентам
23 задания
за последние сутки
10 минут
среднее время отклика
Дипломная работа
«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «математика» для студентов направления «биология»»Дипломная работа
«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «геометрия» для студентов направления «прикладная математика и физика»»Дипломная работа
«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу “Евклидово пространство” для студентов направления “Педагогическое образование”»Дипломная работа
«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу Евклидово пространство»Дипломная работа
«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу функциональный анализ для направления прикладная математика и информатика»