Дипломная работа
«Методическое обеспечение курса "кратные и поверхностные интегралы"»
- 58 страниц
Введение. 4
Глава 1. Тройной интеграл 5
§1. Определение тройного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§2. Сумма Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§3. Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§4. Сведение тройных интегралов к повторным . . . . . . . . . . 9
§5. Замена переменных в тройном интеграле. Преобразование
пространственных областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§6. Выражение объема в криволинейных координатах . . . . . . 14
§7. Геометрический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§8. Замена переменных в тройных интегралах . . . . . . . . . . 18
Глава 2. Криволинейные интегралы 21
§1. Криволинейные интегралы 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . 21
§2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода . . . . . . 21
§3. Основные свойства криволинейного интеграла 1-го рода . . 23
§4. Криволинейные интегралы 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . 24
§5. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода . . . . . . 26
Глава 3. Площадь поверхности 28
§1. Связь между интегралами 1-го и 2-го рода . . . . . . . . . . 28
§2. Формулы Грина. Связь между двойным интегралом и кри-
волинейным интегралом 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . 29
§3. Приложения формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§4. Площади поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§5. Определение площади поверхности . . . . . . . . . . . . . . . 39
§6. Вычисление площади поверхности . . . . . . . . . . . . . . . 40
Глава 4. Поверхностные интегралы 43
§1. Поверхностный интеграл 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . 43
§2. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода . . . . . . . 45
§3. Поверхностный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . 46
§4. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода . . . . . . . 47
§5. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§6. Формула Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Заключение. 56
Литература 57
Данная выпускная квалификационная работа представляет собой
курс лекций по дисциплине “Кратные и поверхностные интегралы” и
может быть использована при подготовке к занятиям. В ее основу по-
ложены лекции, прочитанные студентам специальностей “Прикладная
математика и физика”.
В работе изложены основные понятия, определения, свойства и тео-
ремы, доказательства перечисленных выше разделов.
Для создания дипломной работы используется текстовый редак-
-тор LaTeX, который имеет ряд преимуществ таких, как включение в
текст сколь угодно сложных математических формул, которые прекрас-
но смотрятся на печати; при печати получается текст типографического
качества и т.д.
4
ГЛАВА 1
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Определение тройного интеграла
Пусть в пространстве R3 задана конечная замкнутая область Ω и
функция f(x, y, z) – ограниченная функция, определенная в Ω.
1) Разобьем область Ω на конечное число ячеек Ω1,Ω2, . . . ,Ωn;
2) В каждой из этих ячеек выберем точку Mi(xi, yi, zi) ∈ Ωi (i =
1, 2, . . . , n);
3) Сумма
σ =
Σn
i=1
f(Mi)|Ωi|
называется трехмерной интегральной суммой.
Обозначим через
λ = max
i
diamΩi
наибольший из диаметров ячеек Ωi
Определение 1. Функция f называется интегрируемой по области Ω,
если существует предел lim
λ→0
σ, не зависящий ни от способа разбиения Ω
на Ωi, ни от выбора точек Mi.
В таком случае предел lim
λ→0
σ называется тройным интегралом от функ-
ции f по области Ω.
Тройной интеграл обозначается следующим образом
∫ ∫
Ω
∫
f(x, y, z)dxdydz = lim
λ→0
Σn
i=1
f(Mi)|Ωi|
Необходимое условие интегрируемости Если функция f – инте-
грируема в области Ω, то она ограничена.
В самом деле, если бы функция f была неограничена в некотором
промежутке, то при любом разбиении промежутка на части она сохра-
нила бы подобное свойство хоть в одном из частей. Тогда за счет выбора
5
в этой части точки ξ можно было бы сделать значение функции в этой
точке f(ξ), а с ней и интегральную сумму σ, сколь угодно большой. При
этих условиях конечного предела для суммы существовать не может. [1]
§2. Сумма Дарбу
Пусть нам дана функция f ограниченная в области Ωi.
Обозначим через Mi = sup f точную верхнюю границу, а через mi =
inf f точную нижнюю границу функции f(x) в i – м промежутке [xi, xi+1]
и составим суммы
s =
Σn−1
i=0
mi|Ωi|
нижняя (интегральная) сумма Дарбу
S =
Σn−1
i=0
Mi|Ωi|
верхняя (интегральная) сумма Дарбу.
Когда функция f(x) непрерывна, верхняя и нижняя суммы Дарбу
являются наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечаю-
щих взятому разбиению, так как в этом случае функция f(x) в каждом
промежутке достигает своих точных границ, и точки ξi можно выбирать
так, чтобы было f(ξi) = mi или f(ξi) = Mi.
В общем случае, из определения нижней и верхней границ имеем
mi ≤ f(ξi) ≤ Mi.
Умножив обе части неравенства на |Ωi| и просуммировав по i получим
s ≤ σ ≤ S.
При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными числа-
ми, а сумма Ω еще остается переменной, так как числа ξi – произвольные.
За счет выбора ξi можно значения функции f(ξi) сделать сколь угод-
но близкими к mi или к Mi, а значит – сумму σ сделать сколь угодно
6
Основными источниками при написании выпускной квалификацион-
ной работы послужили конспекты лекций и монографии по курсу мате-
матический анализ, приведенные в списке литературы.
Данная работа была набрана и отредактирована в среде LaTeX. Для
изучения данной программы использовалась следующие монографии:
К.В. Воронцов “LATEX в примерах” и С.М. Львовский “Набор и верстка
в системе LaTeX”.
Работа содержит необходимый теоретический и практический мате-
риал в виде основных понятий, теорем и решенных примеров.
Практическая значимость данной выпускной квалификационной ра-
боты заключается в том, что она может быть использована в качестве
методического пособия по курсу математический анализ для студентов
специальностей Прикладная математика и физика.
56
Список литературы
[1] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа том 1. –
М.: ООО Издательство АСТ, 2005
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа том 2. –
М.: ООО Издательство АСТ, 2005
[3] Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.
– М.: ООО Издательство Астрель; ООО Издательство АСТ, 2001
[4] Демидович П.Б. Сборник задач и упражнений по метематическому
анализу. – М.: Издательство Наука. 1995
[5] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садавничий В.А. Математический
анализ в задачах и упражнениях (часть 2). – М.: Издательство На-
ука. 2002
[6] Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа том 2. – СПб.:
Издательство Лань, 2001
[7] Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу том 3.
– М.: Издательство Наука. 2001
57
| Тема: | «Методическое обеспечение курса "кратные и поверхностные интегралы"» | |
| Раздел: | Математика | |
| Тип: | Дипломная работа | |
| Страниц: | 58 | |
| Цена: | 950 руб. |
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
- Цены ниже рыночных
- Удобный личный кабинет
- Необходимый уровень антиплагиата
- Прямое общение с исполнителем вашей работы
- Бесплатные доработки и консультации
- Минимальные сроки выполнения
Мы уже помогли 24535 студентам
Средний балл наших работ
- 4.89 из 5
написания вашей работы
682 автора
помогают студентам
23 задания
за последние сутки
10 минут
среднее время отклика
Дипломная работа
«Разработка учебно-методического обеспечения»Дипломная работа
«Методическое обеспечение курса «алгебра и геометрия» для студентов направления «педагогическое образование»»Дипломная работа
«Методическое обеспечение курса «математический анализ»»Дипломная работа
«Методическое обеспечение курса «математический анализ» для студентов направления «информационные системы и технологии»»Дипломная работа
«Методическое обеспечение курса основы математической обработки информации»