«Приложения координатно-векторного метода к решению школьных задач»

Векторно-координатный метод не требует догадок, дополнительных построений: решение задач во многом алгоритмизировано, что упрощает поиск и само решение задачи. Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи векторно-координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач.

Цель данной работы:

Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) раскрыть содержание данного метода, рассмотреть основные определения, теоремы и формулы – необходимые для решения задач данным способом;

2) показать применение метода при решении конкретных задач:

а) для младших школьников и школьников средних классов;

б) для учеников старших классов.

Еще одним достоинством данного метода является то, что в ходе его применения нет необходимости наглядно представлять сложное пространственное изображение.

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. А так же, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Так как метод координат тесно связывает алгебру с геометрией, что позволяет более плодотворно решать задачи как в одной, так и в другой дисциплине, то можно считать его универсальным.

Рассматривая задачи школьного курса геометрии можно заметить, что данный метод дает возможность строить доказательства и само решение более рационально, чем при использовании только геометрического метода. Главное при решении задач координатным методом – удачный выбор системы координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбираются прямые, фигурирующие в условиях задачи, а так же оси симметрии (если таковые имеются) фигур, рассматриваемых в задаче. Можно сказать, что желательно, чтобы система координат естественным образом определялось условиями задачи.

§ 1.1. Ортонормированный репер на плоскости. Простейшие задачи в координатах

Определение 1. Координатной осью называется прямая, на которой фиксированы две различные точки: точка , называемая началом координат, и точка , называемая единичной точкой (см. рис.1).

Определение 2. Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных координатных осей и , причем началом координат каждой из осей служит их общая точка (начало прямоугольной декартовой системы координат) (см. рис. 2).

Ось называется осью абсцисс, ось – осью ординат.

Координаты оси и разбивают плоскость на четыре четверти (квадранта). Часть плоскости, лежащая выше оси и правее оси считается первым квадрантом; часть плоскости, лежащая выше оси и левее оси – вторым; часть плоскости, лежащая ниже оси и левее оси – третьим, и часть плоскости, лежащая ниже оси и правее оси – четвертым квадрантом. Плоскость с построенной системой координат называется координатной плоскостью.

Определение 3. Пусть в декартовой системе координат на плоскости нам известны координаты точек начала и конца вектора Найдем координаты вектора

Если вспомнить определение операции сложения двух векторов, то можно записать равенство ( начало координат),

Векторы и радиус-векторы точек и в заданной прямоугольной декартовой системе координат, их координаты равны соответствующим координатам точек и Тогда, опираясь на операции над векторами в прямоугольной системе координат, находим

Определение 4. Расстояние между точками и имеющими координаты и вычисляется по формуле:

(2)

Определение 5. Координаты середины отрезка.

Если точка имеет координаты а точка то координаты точки (см. рис.4), делящей отрезок в отношении определяются по формулам:

(3)

Если делит отрезок пополам, координаты и середины отрезка определяются по формулам:

(4)

Рассмотрим простейшие задачи: построения на плоскости, которые необходимо уметь решать ученикам младших и средних классов.

1) Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.

2) На координатной плоскости постройте точки

3) Постройте фигуры по координатам их узловых точек.

Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.

А) Камбала (Рис. 5).

Б) Найдите координаты выделенных на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 6 и 7)

Задания для самостоятельной работы:

1) Зайчонок

2) Голубь

3) Снегирь

4) Рыбка

5) Лебедь

6) Кит

7) Жираф

Задачи для учеников среднего звена на выбор системы координат:

Доказать, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Дано:

.

Доказать: .

Доказательство:

1) Начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей (рис.8). и

2) По формуле (3) середины отрезка

3) Теперь ,

Поэтому по определению середины отрезка теорема доказана.

Замечание:

Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.9, рис.10). Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 11, нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень просто.

§ 1.2. Общее уравнение прямой. Уравнение окружности

Определение 6. Уравнение с двумя переменными и называется уравнением линии если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии (рис.12).

Определение 7. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

(1)

причем постоянные не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных и возможны следующие частные случаи:

• прямая проходит через начало координат;

• прямая параллельна оси

• прямая параллельна оси

• прямая совпадает с осью

• прямая совпадает с осью

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Определение 8. В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса с центром в точке (рис.13) имеет вид:

(2)

Задача 1. Даны две точки и Найдите множество всех точек для каждой из которых: a) б)

a) Дано: и

Найти: множество всех точек

Решение:

1) Введем систему координат так, чтобы (см. рис.14), начало координат: (см. рис.15).

2)

, отсюда следует, что

– окружность с центром и

б) Дано: и

Найти: множество всех точек

Решение:

Следовательно,

– окружность с центром и

Задача 2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.

Дано: точка и точка

Найти:

Решение:

1) Возьмем любые две точки и обозначим их через и

2) Выберем систему координат так, чтобы ось совпадала с прямой начало координат в точке

3) Предположим далее, что в выбранной системе координат и Точка принадлежит искомому множеству или

4) Используя формулу (см.§1.3(1)) расстояния от одной точки координатной плоскости до другой Тогда

5) Осуществляем преобразование полученного выражения. Получаем соотношение .

6) Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси и отстоящей от точки на расстояние т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.

Задача 3. В треугольнике медиана. Докажите, что

Дано: , , , , .

Доказать:

Доказательство:

1) Выберем систему координат так, чтобы точка служила началом координат, а осью прямая (рис. 16).

2) В выбранной системе координат точки и имеют следующие координаты: и

3) Обозначим координаты точки через и

4) Используя формулу (см. §1.3(1)) для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:

(*)

5) По той же формуле (6) (**)

6) Используя формулы (*) находим и

Они равны:

7) Далее, подставляя и в формулу (**), находим:

.

8)

Задача 4. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.

Дано: точкам и точка

Найти: уравнение множество точек.

Решение:

1) Обозначим данные точки через и Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой а началом координат служила точка (см. рис. 17).

2) Предположим , тогда в выбранной системе координат , .

3) Точка принадлежит искомому множеству где постоянная величина.

4) Используя формулу (см. §1.3(1)) расстояний между двумя точками, получаем:

, ,

или (1)

5) Уравнение (1) является уравнением прямой, параллельной оси и отстоящей от точки на расстояние .

Задача 5. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.

Дано: трапеция;

Найти:

Решение:

1) Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 18).

Тогда в выбранной системе координат точка и будут иметь координаты: и

2) Пусть и острые углы в трапеции их сумма равна

3) Для вычисления длины большей диагонали надо найти значение Вычислим 2 способами:

a) из прямоугольного находим .

b) из прямоугольного .

4) Из пункта 3) (1)

5) Из равенства (1) находим отношение : оно равно - , так как .

6) Выразим Он равен исходя из этого, пользуясь зависимостью (1), получаем .

7) Воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.

Она равна .

§ 1.3. Примеры решения задач координатным методом

Задача 1. Докажите, что сумма квадрата всех сторон диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Дано: параллелограмм (рис.19).

Доказать:

Доказательство:

1) Вводим такую систему координат такую чтобы точка совпадала с началом координат (см. рис. 20).

2) Найдем координаты интересующих нас точек.

a) Пусть сторона ;

b) Пусть точка имеет координаты Тогда нам остается найти координаты точки

c) Из равенства векторов (см. §1.1. Опр.3):

3) Находим длины нужных сторон:

4) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Проверим: .

Раскрывая скобки получаем тождество:

Что и требовалось доказать.

Задача 2. Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 160 см, а основание треугольника 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Дано: равнобедренный, см, см.

Найти:

Решение:

1) Рассмотрим точку середину является и высотой и медианой (свойство равнобедренного треугольника).

2) Прямоугольную систему координат возьмем так, как показано на рисунке 20.

3) Найдем координаты нужных нам точек:

4) Найдем середину (см. §1.1. Опр.5):

5) Найдем длину (см. §1.1. (1))

(см).

Ответ: (см).

Задача 3. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведенная к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

Дано:

Найти: ,

Решение:

1) Введем систему координат так, чтобы – начало координат (см. рис. 21).

В получим отсюда следует

2) медиана,

3) медиана,

4) медиана,

Ответ: 19,5; ;

Задача 4. Найти множество всех точек, для каждой из которых отношение расстояний от двух данных точек и есть постоянная величина , не равная единице.

Дано: точка и

Найти:

Решение:

1) Возьмем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 22.

2) Если то в выбранной системе координат

3) Для того чтобы точка принадлежала искомому множеству, необходимо и достаточно, чтобы Так как то

4) Возведя в квадрат и приводя подобные члены, получаем уравнение:

Так как то, разделив на окончательно получим:

.

5) Этим уравнением определяется окружность радиуса с центром в точке Точка Cлежит на прямой AB (рис. 23). Эта окружность называется окружностью Аполлония.

Задача 5. Найти координаты точки которая равноудалена от трех точек и

Дано:

Найти:

Условие:

Решение:

1) т.

2) Пусть имеет координаты

3) По формуле расстояния от одной точки до другой (см.§1.3.)

4) Составим систему:

Из (1) и (3)

5) Возведем в квадрат обе части

центр окружности, проходящий через три заданные точки (см. рис.23).