«Оценки решений краевой задачи для одного класса дифференциальных уравнений второго порядка»

В данной работе в области D = {(x, у), у > 1, x R} исследуется уравнение

(1)

где функция имеет оценку для некоторого  > 0 и достаточно большого N.

В работе ищется решение краевой задачи для уравнения (1), удовлетворяющее условию

u (x,1) = j(x), (2)

Целью данной работы является доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) и нахождение наиболее точных его оценок. Главная трудность состоит в том, что эта краевая задача рассматривается в неограниченной области. Подобные задачи возникают при построении полного асимптотического разложения решения краевой задачи для уравнения диффузии, когда коэффициент диффузии мал. Такие уравнения в теории эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными в ограниченных областях исследованы. В данной работе используются некоторые из них, и показывается, что для краевой задачи справедлива теорема существования и единственности в классе ограниченных функций, которые стремятся к нулю при |x|   равномерно относительно y, в неограниченной области. Актуальность данной работы состоит в том, что такая задача возникает в приложениях.

Первая глава является теоретической, в ней излагаются основные теоремы, понятия и предложения, которые непосредственно используются при исследовании задачи (1), (2).

Во второй главе приводится доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) и устанавливаются оценки решения.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

(1.1.1)

где являются функциями х и у.

Если коэффициенты зависят не только от х и у, а являются, подобно , функциями x, y, u, то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, иху , иуу, так относительно функции u(x,y) и её первых производных , :

(1.1.2)

где - функции х и y. Если коэффициент уравнения (1.1.2) не зависит от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если f (х, у) = 0 .

Если является частным решением уравнения

(1.1.3)

то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения .

Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

(1.1.4)

то функция удовлетворяет уравнению (1.1.3).

Уравнение (1.1.4) называется характеристическим для уравнения (1.1.1), а его интегралы — характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (1.1.4), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если является другим общим интегралом уравнения (1.1.4), не зависимом от , то пологая , мы обратим в нуль также и коэффициент при .

Уравнение (1.1.4) распадается на 2 уравнения:

(1.1.5)

(1.1.6)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением

гиперболического типа, если в точке М ,

эллиптического типа, если в точке М ,

параболического типа, если в точке М

Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка.

1.2 Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру

Говорят, что функция g(x) удовлетворяет условию Гельдера с постоянной k и показателем , где   (0;1), на некотором множестве , если для любых двух точек х' и х" из этого множества ,

где - п-мерное евклидово пространство, .

- ограниченная область в Еп, то есть произвольно открытое связанное множество, содержащееся в каком-нибудь шаре большого радиуса.

S - граница . Иногда мы будем обозначать ее через .

- замыкание , .

- класс (т - неотрицательное целое число) функций , имеющих частные производные до порядка т, непрерывные в G + Г.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций и из таких, что их производные порядка т удовлетворяют в G + Г условию Гельдера с показателем  ([7], гл. IV, § 7, стр. 330).

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений

Пусть коэффициент уравнения

(1.3.1)

и свободный член f(х,у) определены в ограниченной области  и принадлежат пространству . Уравнение (1.3.1) называется эллиптическим, если выполняется условие

(1.3.2)

([9], гл. 3, стр. 145).

Принцип максимума: Если функция и(х) удовлетворяет условию

М [u]  0, где

и принимает максимальное значение во внутренней точке, то и= const.

Следовательно, максимум любой функции и(х), непрерывной в G+ Г и удовлетворяющей условию М [u]  0 в G, достигается на границе G ([7], гл. IV, §2, стр. 324).

Следствие. Пусть функция и(х) удовлетворяет в G уравнению

(1.3.3)

Если и(х) достигает внутри области положительного максимума, то и=const. Следовательно, если функция и(х) непрерывна в G+Г, неположительная на Г и удовлетворяет условию L[u]  0 в G, то u  0 в G.

Для доказательства этого следствия предположим, что и(х) имеет положительный максимум во внутренней точке Р . Поскольку функция и(х) непрерывна, то она положительна в некоторой окрестности точки Р; но в этой окрестности М[и = Lu - си  0 , так как с  0 и поэтому, в силу принципа максимума, и = const. Таким образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в G.

С другой стороны, в силу непрерывности и(х), оно одновременно замкнуто в G и, следовательно, совпадает с G. Отсюда следует, что функция и(х) всюду в G равна некоторой положительной постоянной.

Из принципа максимума следует, что любая функция, удовлетворяющая в G условию М (и)  0 , принимает максимальное значение в граничной точке.

Принцип максимума можно применять не только для доказательства единственности решения и уравнения (1.3.3.), (следовательно, и уравнения Lu= f ), принимающего заданные граничные значения и = на границе Г области G , но и для оценки функции и.

Справедлива следующая лемма.

Лемма. Если функция g(x) удовлетворяет условиям

в G и в Г,

то

|u|  g в G.

Для доказательства достаточно показать, что функции и неположительны. Но это вытекает из следствия принципа максимума, так как функция v(x) удовлетворяет условию

L [] = L [u] – L [g] = f – L [g]  0

и так как на границе  (x) = (x) — g(x)  О.

Аналогично доказывается, что - и(х) - g(x)  0.

Теперь мы построим такую функцию g(x), предполагая для удобства, что область G лежит в полупространстве . Мы будем считать, что существуют такие положительные постоянные т, b, что всюду в G выполняются неравенства:

.

Положим

причём в G, а  - положительная постоянная, выбранная так, чтобы функция удовлетворяла постоянным условиям. Ясно, что g  max||.

Кроме того, при достаточно больших  имеем

.

Выбор  зависит только от т и b.

Таким образом, мы получили следующую априорную оценку.

Для решения уравнения (1.3.3), удовлетворяющего граничным условиям и=, справедлива оценка

(1.3.4)

где  - постоянная, зависящая только от т и b, а - постоянная, такая, что в G.