«Математика для специальности «генетика»»

Основной целью написания данной выпускной квалификационной работы является не просто стремление сообщить читателю те или иные сведения по высшей математике, а развить у него математическое мышление, расширить кругозор и привить ему математическую культуру; показать внутреннюю связь математических понятий, т.е. представить математику в ее развитии. Ее основная задача – быть полезной в учебном процессе для студентов нематематических факультетов.

Основу курса высшей математики составляет математический анализ, включающий в себя дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных.

Закономерности, которым подчиняются случайные события, изучаются в разделах математики, которые называются теорией вероятностей и математической статистикой.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1. Испытание - однократное бросание игральной кости. Событие А - появление четырех очков. Событие В - появление четного числа очков. События А и В совместные.

Два события называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Несовместность более чем двух событий означает их попарную несовместность.

Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие А называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

2. Классическое определение вероятности.

События А1, А2,…Аn – называются равновозможными, если в результате некоторого опыта любое из этих событий может появиться равной степенью возможности.

Пример 2. Опыт: однократное бросание игрального кубика. Пусть события А1, А2, А3, А4, А5, А6- соответственно выпадение одного, двух, и т.д., шести очков. Если центр тяжести кубика находится в геометрическом центре, то эти шесть исходов равновозможны.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта наступает хотя бы одно из них. Если несколько событий А1, А2,…Аn попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу, то такие события называют элементарными. Несколько событий называются благоприятными к появлению события А, если данное событие наступает при наступлении этих событий.

Определение. Если к появлению некоторого события А благоприятными являются k случаев из n элементарных событий, то вероятность P(A)

события А равна:

(1)

Пример 3. Пусть А – появление четного числа очков при однократном бросании кубика. Найти вероятность события А.

Решение: Аi={появление i очков при однократном бросании игрального кубика}.

А={А2, А4, А6} , то k =3, n=6 , все условия выполнены: .

С каждым опытом можно связать невозможное и достоверное события.

3. Статистическое определение вероятности. Пусть проведено N опытов, в каждом из которых возможны появление события А и не появление А (т.е. ). Пусть событие А наступило m раз в N опытах. Число называется относительной частотой события А. Вероятностью события А, в данной серии из N опытов, называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших N, т.е.

. (2)

Необходимым условием применения статистического определения является проведение достаточно больших серий опытов.

Пример 4. В некотором городе в течение первого квартала родились:

в январе – 145 мальчиков и 135 девочек, в феврале – 142 мальчика и 136 девочек, в марте – 152 мальчика и 140 девочек. Как велика вероятность рождения мальчика?

Доля рождения мальчиков: в январе: 145/280=0,518=51,8%, в феврале: 142/278=0,511=51,1%, в марте: 152/292=0,521=52,1%.

Мы видим, что среднее арифметическое долей за отдельные месяцы близко к числу 0,516=51,6%; искомая вероятность в данных условиях составляет примерно 0,516, или 51,6%. Эта цифра хорошо известна в демографии – науке, изучающей динамику населения; оказывается, что доля рождения мальчика в обычных условиях в различные периоды времени не будет значительно отклоняться от этой цифры.

4. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика - раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Размещения с повторениями.

Будем говорить, что нам задано m – множество X, если число элементов этого множества n(X)=m.

Например. X={x1,x2,.,xm}. Рассмотрим упорядоченные наборы по k элементов, составленные из элементов m - множества X, например, (x1,x2,.,xk), (x2,x3,.,xk+1),….Такие наборы будем называть строками длины k. Две строки (а1 .,αk) и (β1,.,βk) будем считать различными, если хотя бы для одного номера j элемент αj≠βj. Например, строки (0,0,0,1) и (0,0,1,1) различны.

Строки длины k, составленные из элементов m – множества называются размещениями с повторениями из m элементов по k. Число всех размещений из m элементов по k зависит только от m и k (т.е. от природы элементов m – множества не зависит) и обозначается через . Справедлива формула:

. (3)

Пример 5. Сколько телефонных номеров, состоящих из 6 цифр, можно составить?

Решение. Каждому телефонному номеру поставим в соответствие строку длины 6, составленную из элементов 10-элементного множества X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Например, (0,1,7,8,6,4), (0,0,0,8,4,0) и т.д. Каждый элемент строки можно выбрать десятью способами, поэтому общее число телефонных номеров из шести цифр равно

Размещения без повторений. Перестановки.

Строки длины k, составленные из различных элементов m – множества, называются размещениями без повторений из m элементов по k (k≤m), а их число обозначают . Справедлива формула:

. (4)

Доказательство. При составлении k размещений без повторений из m элементов нам нужно сделать k выборов. На первом шаге можно выбрать любой из имеющихся m элементов. Если этот выбор сделан, то на втором шаге придется выбирать из оставшихся m-1 элемента, т.к. повторять выбранный ход нельзя. На третьем шаге для выбора останется m-2 элемента, на четвертом m-3 элемента и т.д., на k шаге m-k+1 элемент. Согласно принципу произведения получаем, что число k размещений без повторения из m элементов вычисляется по формуле:

Пример 6. Группа состоит из 25 студентов. Надо выбрать актив группы: старосту, комсорга, профорга. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если известно, что один и тот же студент не может быть на двух должностях?

Решение. Сначала выберем старосту группы. Для этого можно использовать 25 способов, поскольку любой из 25 студентов может быть старостой. Теперь из оставшихся 24 студентов выберем комсорга. Это можно проделать 24 способами. Из оставшихся 23 студентов 23 способами можно выбрать профорга. Итак, согласно правилу произведения получаем, что актив группы можно выбрать способами, где =25∙24∙23=13800.

При составлении размещений без повторений из m элементов по k мы получим расстановки элементов, отличающихся друг от друга и составом и порядком элементов. Но если брать размещения, в которые входят все m элементов, то они могут отличаться только порядком входящих элементов.

Иначе говоря, перестановками m элементов называют размещение без повторений из n элементов по n. Перестановками из n элементов {a1,a2,.,am} являются всевозможные m – строки (ak1ak2.,akn), каждая из которых содержит все эти элементы по одному разу, и которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Если обозначить через Pn число перестановок n элементов, то нетрудно увидеть, что

(5)

Принято считать, что 0!=1.

Сочетания.

Всевозможные k – множества m – элементного множества называются сочетаниями из m элементов по k. Число таких сочетаний обозначим . Справедлива формула:

. (6)

Доказательство. Составим все k сочетания из m элементов. Это можно сделать . Теперь переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами, т.е. сделаем всевозможные перестановки в каждом k – сочетании. Это можно сделать k! способами. При этом получается все k размещения без повторений из m элементов, причем каждое только по одному разу. Значит, справедлива формула: Отсюда находим:

Пример 7. В футбольном турнире участвуют 8 команд. Известно, что все команды должны сыграть друг с другом по одному матчу. Сколько игр будет сыграно в турнире?

Решение. Множество команд состоит из 8 элементов {a1,a2,.,a8}. Нам надо определить число различных подмножеств, состоящих только из двух элементов {ai,aj}, i≠j. Очевидно, что подмножества {ai,aj} и {aj,ai} считаются совпадающими.

Получаем: игр.

§ 1.2. Свойства вероятности.

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Суммой несовместимых события А и В называют событие С=А+В (или С=А В),состоящее в наступлении, по крайней мере,одного из событий А или В.

Пример 1. Испытание – стрельба двух стрелков. Событие А – попадание в мишень первым стрелком, событие В – попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С=А+В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Произведением событий А и В называют событие С=АВ (или С=А∩В), состоящее в том,что в результате испытания произошло событие А и событие В.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B). (7)

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице. Р(А)+Р( )=1. (8)

Для А- благоприятных k случаев, для - благоприятных n-k случаев.

Р(А)= , Р( )= , Р(А)+Р( )=1.

2. Теорема умножения вероятностей.

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пример 2. Пусть в урне находятся два белых и два черных шара. Пусть событие А1- {вынут белый шар при 1-ом испытании}. Очевидно, Р(А1)=1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну и снова вынимается шар. Событие А2 – во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(А2)=1/2, т.е. события А1 и А2 – независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А1, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события А2 уменьшается (Р(А2)=1/3), если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события А2 увеличивается (Р(А2)=2/3). В этом случае А1, А2 – зависимые.

Пусть А1 и А2 – зависимые события. Условной вероятностью P(А2/А1) события А2 при выполнении А1, называют вероятность события А2, найденную в предположении, что событие А1 уже наступило.

Справедливы утверждения.

Теорема 2. Вероятность произведения двух зависимых событий А1 и А2 равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

P(A1 А2)=P(A1)P(А2/А1).

Пример 3. В условиях примера 2 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белый шары? Имеем:

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий А1 и А2 равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1А2)=P(A1)P(А2).

3. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема 4. Вероятность суммы двух совместимых событий А1 и А2 равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

P(A1+А2)=P(A1)+P(А2) - P(A1А2).

Пример 4. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.

Введем обозначения для событий:

А1 – первое растение здоровое; А2 – второе растение здоровое; А1+А2 – хотя бы одно растение здоровое. Так как события А1 и А2 совместные, то имеем P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) = =0,95 + 0,95 – 0,95•0,95 ≈ 0,9975.

4. Формула полной вероятности.

Теорема. Вероятность события А , которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий В1,В2,…,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий Р(Вi) на соответствующую условную вероятность события А при выполнении условия Вi:

5. Формула Байеса. Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Тогда справедлива формула:

Пример 5. (Задача о трех сестрах).

На 3-х дочерей Алису, Марину, Елену в семье возложена обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнять 40% всей работы, остальные 60% Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду вероятность для нее разбить по крайней мере 1 тарелку ровна 0.02, для Марины и Елены эта вероятность равна 0.03 и 0.04. Родители не знают кто мыл посуду вечером, но они слышали звон разбитой тарелки, какова вероятность того, что посуду мыла Алиса? Марина? Елена?

A – разбита посуда, В1 – посуду мыла Алиса, В2 – Марина, В3 – Елена.

Р(В1)=0.4, Р(В2)=0.3, Р(В3)=0.3.

Р(А/В1)=0.02 – вероятность, что посуду разбила Алиса, Р(А/В2)=0.03 – Марина, Р(А/В3)=0.04 – Елена.

Аналогично находим P(B2/A), P(B/A).

§ 1.3. Приложение в генетике.

Законы Менделя.

Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству зависит от определенного гена. В половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак, находятся парами. Например, в клетках гороха имеется пара генов, отвечающих за цвет цветков потомства – красный или белый. Эти гены могут находиться в двух состояниях – доминантном ( ) и рецессивном ( ). Поэтому пары генов могут быть такими: , , , .

Выписанные возможности определяют генотипы особи. Например, для гороха красный цвет цветков – доминантный признак, а белый – рецессивный.

Из опытов известен первый закон Менделя: особи доминантного и смешанного генотипов в фенотипе обладают рецессивным признаком.

Согласно этому закону для гороха особи доминантного и смешанного генотипов имеют красный цвет цветков, и только особи с рецессивным генотипом имеют цвет цветков белый.

Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами и – поколение (родительской формы). После скрещивания особей с генотипом с особями с генотипами поколения образуется поколение гибридов с генотипом . Это поколение в генетике принято обозначать . В поколении других генотипов, кроме генотипа , нет.

При случайном скрещивании особей поколения образуется поколение , в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа: , , , .

Из опытов известен второй закон Менделя: в поколении происходит расщепление фенотипов в отношении 3:1.(3 части составляют особи с

доминантным признаком в фенотипе, 1 часть приходится на особи с рецессивным признаком в фенотипе). Из этого следует, что для поколения вероятность того, что в фенотипе особи проявится доминантный признак, равна , а вероятность того, что в фенотипе особи проявится рецессивный признак, равна .

Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 2.1. Случайные величины.

1. Понятие случайной величины. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений. Дискретная случайная величина определяется значениями случайной величины и их вероятностями. Иначе говоря, можно задавать таблицей:

Значение случайной величины(Х) Х1 Х2 … Хn …

Вероятности значений (Р) Р1 Р2 … Рn …

где Рi – вероятность того, что случайная величина Х принимает значение равное xi, т.е. Рi=P(Х=xi). При этом, сумма вероятностей

Пример 1 ( дискретной случайной величины). Опыт: Однократное бросание монеты. Пусть Х – число появления орла, тогда закон распределения Х имеет вид:

Значения Х 00 11

Значения Р ½1/2 ½1/2

2. Биноминальное распределение.

Рассмотрим последовательность испытаний в каждом из которых может появиться два исхода: событие А или . Пусть Р(А) = р, Р( ) = 1 – р= q. Обозначим Аk , n ={ Событие А появится k раз при n испытаниях }.

Например, . . Обозначим . Справедлива формула Бернулли:

.

Рассмотрим случайную величину: Y – число появления события А. Тогда закон распределения Y примет вид:

Y 0 1 2 … k … n

Р Pn(0) Pn(1) Pn(2) … Pn(k) … Pn(n)

где

§ 2.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Одной из характеристик случайной величины является математическое ожидание.

Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

M(X) = x1p1 + x2p2 +…+xnpn+… (1)

Полученное число и есть математическое ожидание.

Пример 1. Пусть Х – число появления орла при 2-х кратном бросании монеты. Тогда закон распределения имеет вид:

Х 0 1 2

Р ¼ ½ ¼

Найдем математическое ожидание.

2. Дисперсия дискретной случайной величины.

Дисперсия случайной величины Х называется число, определенное формулой: . (2)

Средним квадратическим отклонением называется число , в частности, в случае дискретной случайной величины

, m=М(x). (3)

Пример вычисления дисперсии дискретной случайной величины:

Х – число появлений орла при 2-х кратном бросании монеты. Тогда по формуле (3) получаем: .

Находим среднее квадратическое отклонение:

3.Непрерывные случайные величины. Одним из способов определения непрерывных случайных величин является задание плотности вероятности (дифференциальной функции распределения). Плотностью вероятности непрерывной случайной величины называется функция f(x) удовлетворяющая двум условиям: и

т.е. задается функция f(x) удовлетворяющая этим условиям.

Примеры непрерывных случайных величин:

1.Равномерное распределение задается плотностью вероятности

. (4)

2.Экспоненциальный закон распределения задается плотностью вероятности

. (5)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x )называется число

. (6)

Пользуясь определением дисперсии (2) получаем

(7)

Пример 2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию для равномерно распределенной случайной величины.

Решение. Учитывая плотность распределения (4) и используя формулу (6) получаем:

Найдем дисперсию:

4. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1) Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине. Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение С с вероятностью р = 1. Поэтому М (С) = С • 1 = C.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. М (СХ) = С М (Х).

Докажем это, используя соотношение (1), имеем:

М(СХ) = Сх1p1 + Сх2р2 + . + Схnрn= C ( x1p1 + х2р2 + .,.+ хnрn ) = СМ(Х).

3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и Y равно сумме их математических ожиданий: М ( Х+Y ) = М ( Х )+М ( Y ).

Случайные величины X и Y называют независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. Несколько случайных величин называют независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М ( ХY ) = М ( Х ) М ( Y ).

Следствием свойств 2 и 3 является свойство 5.

5) Математическое ожидание разности двух случайных величин Х и Y равно разности их математических ожиданий: М ( Х - Y ) = М ( Х ) - М ( Y ).

5. Свойства дисперсии.

1) Дисперсия Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D(X) = M(X2 ) – M2 ( X ).

Используя свойства математического ожидания, имеем

D ( X ) = M [ ( X – M ( X )) 2] = M [ X 2 – 2XM ( X ) + M 2 ( X ) ]=M ( X 2 ) – 2M ( X ) M ( X ) + M 2 ( X ) =

= M (X 2 ) – 2M 2 ( X ) + M 2 ( X ) =M ( X 2 ) - M 2 ( X ).

С помощью этого свойства и свойства математического ожидания устанавливаются следующие свойства.

2) Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

3) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D (CX ) = C2D ( X ).

4) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X+Y) = D ( X ) + D ( Y ).

6. Функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины X называется действительная функция действительной переменной такая, что F(x)=P(X < x), т.е. равна вероятности того, что случайная величина X примет значение не превосходящее x. Находим, например, F(2)=P(-∞Свойства:

1) 0 ≤ F(x) ≤1, x (-∞;+∞);

2) P(a ≤ x< b)=F(b)-F(a);

F(x2)-F(x1)=P (X=P(X < x1 ) + P (x1 X < x2) – P (X < x1) = P (x1 X < x2) 0;

3) Функция монотонно неубывающая,

.

4) , ;

5)Функция F(x) непрерывна слева

Свойства 1-5 являются характеристическими свойствами, т.е. они характерны для любой случайной величины X (дискретные, непрерывные).

Случайная величина X называется непрерывной случайной величиной (НСВ),если F(x) непрерывна.Наряду со свойствами1-5 непрерывные случайные величины обладают дополнительными свойствами и следствиями :

6) Если F(x) – непрерывна, то P(X=x)=0.

Из 6-го свойства следует следующее свойство.

7) P(a < X < b)=P(a ≤ X ≤ b)=P(a ≤ X < b)=P(a < X ≤ b).

7. Локальная предельная теорема Лапласа.

Сначала рассмотрим биноминальное распределение: , если n число не очень большое, то используем эту формулу.

Если n – достаточно большое для вычисления этой вероятности используются предельные теоремы.

Теорема. Пусть p=P(A) – вероятность события А, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А при n испытаниях появится точно m раз выражается формулой:

Рn(m) (8)

где xn= , , q=1-p.

Функция φ(x) – это плотность нормально распределенной случайной величины X: , поэтому смысл локальной теоремы следующий: при вероятности р отличной от «0» и «1» биноминальное распределение близка к нормальному распределению.

Замечание1: Теорему Лапласа обычно применяют когда

8. Интегральная теорема Лапласа.

Чтобы вычислить вероятность того, что Pn(m1 m m2) используют также предельные теоремы.

Теорема. Если 0 < p < 1, то при n справедлива формула:

Р n (m1 m m2) ,

где b= , a= , , n - достаточно большое.

Замечание 2: Функция Ф(х) – определена как интеграл, который в элементарных функциях не выражается. Однако при каждом фиксированном x интеграл численно считается и имеются таблицы для значений х [0; 5]. При больших x она близка к .

Однако на практике требуются еще другие свойства:

- нечетная, т.е. , - четная, т.е. .

Если встречается, что x > 4, полагают . при x > 5.

9. Теорема Пуассона.

Пусть производится серия n независимых испытаний, причем появление события А в этой серии зависит от ее номера n и стремится к нулю при n . Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появления события А постоянно, т.е. npn=const. Исходя из формулы Бернулли, для появления события А в n-й серии ровно m раз имеем выражение:

.

Если m – фиксировано, то

. (9)

Пример 3. Вероятность того, что изделия при транспортировке испортятся, равна 0,001. Найти вероятность того, что при транспортировке испортятся 2 изделия. n=2000, p=0,001, . Отсюда

10. Закон нормального распределения. Случайная величина Х называется нормальной, если ее дифференциальная функция f(x) определяется формулой , где параметр а совпадает с математическим ожиданием, параметр σ является средним квадратическим отклонением.

Нормальное распределение с параметрами а=0 и а=1 называется нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения равна Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащий интервалу (α;β) равна

Сделаем в этом интервале замену переменной, пологая что , тогда

. (10)

§ 3.3. Закон больших чисел.

1. Неравенство Чебышева.

Лемма. Пусть X – случайная величина, принимающая только неотрицательные значения. Тогда (1)

Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения , при условии получим

где Сумма распространена на все значения , принимаемые случайной величиной X. Следовательно

Для любой случайной величины Х при каждом положительном числе имеет место неравенство (2)

Это неравенство называют неравенством Чебышева.

Так как событие равносильно событию то

Случайная величина неотрицательна, и, значит

.

Отсюда

Пример 1. Пусть случайная величина X имеет Какова вероятность того, что Х отличается от более чем на 0,1?

По неравенству Чебышева

2. Закон больших чисел.

Теорема Чебышева. Если дисперсия независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной С, то, для любого выполняется предельное соотношение: где

Практический смысл теоремы Чебышева. Рассмотрим случай, когда М(Хk ) = a то Обычно Xk результат k-го измерения, a - истинное значение измеряемой величины, то

Таким образом, практический смысл теоремы Чебышева состоит в том, что за измеряемую величину а, можно принять среднее арифметическое результатов измерений, т.е. . При этом чем больше число измерений n, тем с большей уверенностью можно сказать, что его погрешность невелика. При этом не должно быть систематических ошибок (т.е. опыты независимы).

С увеличением числа случайных опытов, проявляется закономерность явления с большей уверенностью (вероятностью), например: согласно интегральной теореме Лапласа с увеличением числа испытаний, появление события A k-раз окажется в промежутке имеет вероятность т.е. многие явления близки к нормальному распределению. В этом состоит смысл центральной предельной теоремы.