«Методика изучения аналитических функций над алгебрами размерности n≤3»

Во второй главе рассматриваются аналитические функции над алгебрами, в результате которых выводится вид аналитических функций над алгебрами.

Ранг алгебры Ат всюду в дальнейшем подразумевается конечным.

Если {l1, l2,…,lm} - какой-нибудь базис, то закон умножения в алгебре А определяется из условий: li • lj = • lk , где i,j - элементы переменные по k.

∈ R - система величин, которую называют структурными константами алгебры.

Чтобы задать алгебру достаточно задать ее структурные константы или таблицу умножения базисных элементов.

Алгебра называется ассоциативной, если для любых α,β,γ ∈ А выполняется требование

(α • β)γ=α(β • γ)

равносильные следующим условиям, наложенным на структурные константы:

Алгебра Am называется коммутативной, если для любых a,b ∈ Аm выполняется требование: a • b = b • а. Её признаком является симметрия структурных констант по нижним индексам: =

Если существует такой элемент l ∈ A, называемый главной единицей алгебры, что l • α=α • l=α для ∀ α ∈ А, то алгебра называется унитальной.

Если подмножество Ak Ат замкнуто относительно операции умножения в Ат, то оно является подалгеброй

В том случае, когда для любых α ∈ Ат, β ∈ Ак имеем α • β ∈ АК (β • α ∈ Ак), то подалгебра Ak называется левым (правым) идеалом алгебры Ат. При одновременном выполнении обеих условий имеем двусторонний идеал.

Для коммутативных алгебр все три понятия идеала совпадают.

Очевидно, что сама алгебра Ат образует двусторонний идеал. Кроме того, в ней всегда существует идеал, образованный нулевым элементом.

Впредь всюду в настоящей работе мы будем оставаться в классе ассоциативных, коммутативных, унитальных алгебр.