«Применение аффинных преобразований для решения задач на плоскости и в пространстве»

1. В декартовых координатах невозможно описать бесконечно удаленную точку.

2. В декартовых координатах при поведении алгебраических операций невозможно провести различие между точками и векторами в пространстве.

3. Аппарат декартовых координат не позволяет применять унифицированный механизм работы с матрицами для выражения преобразований точек.

Для того, чтобы обойти перечисленные проблемы используют однородные координаты. Однородными координатами называются такие координаты, которые обладают тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число.

Термин аффинный [лат.affinis] означает смежный соседний. Аффинская геометрия — раздел математики, изучающий величины и геометрические объекты, остающиеся неизменными при аффинных преобразованиях [1].

Преобразования в аффинной геометрии возможно описать только при условии существования координат.

Координатами точки в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора в базисе , т.е. коэффициенты в разложении (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде . На плоскости и на прямой координаты записывают в виде и согласно разложениям (рис.1.2,6), (рис.1.2,а). Координаты точки , или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):

в пространстве, на плоскости.

Приведем следующее замечание. Координаты точки М, Координаты точки М, которая делит отрезок в отношении , находят по координатам его конца и

. (1)

Поскольку окружающий мир воспринимается нами в трехмерном пространстве, то декартовая система координат и аффинная система координат воспринимается наблюдателями без особых затруднений. Но в настоящее время возникло новое направление в исследовании геометрических и других разнообразных свойств материальных объектов, которые описываются дробной размерностью пространства. Речь идет о фрактальных объектах. Поскольку это направление исследований имеет свою специфику, то данная работа посвящена классическим геометрическим методам изучения объектов.

Цель дипломной работы состояла в описании общих свойств аффинной системы координат и в демонстрации ее использования.

Глава 1. Аффинные преобразования координат. Аффинные преобразования плоскости

Первоначально рассмотрим аффинное преобразование системы координат в пространстве. Пусть в пространстве заданы две системы координат и . Обычно первая система координат называется "старой", а вторая — "новой". Старый и новый базисы представим в виде символических матриц-строк: , .

Предположим, что перед нами поставлены следующие задачи:

1). Необходимо найти координаты вектора в новом базисе по известным координатам этого же вектора в старом базисе;

2). Необходимо найти координаты точки в новом системе координат, если известны её координаты в старой системе координат

Рассмотрим преобразование координат произвольного не нулевого вектора при замене базиса. Предположим, что нам известны координаты векторов нового базиса, которые определяются по известному старому базису

(1.1)

Если записать по столбцам соответствующие координаты векторов нового базиса относительно старого базиса, то можно составить матрицу:

(1.2)

Квадратная матрица, составленная из координатных столбцов векторов нового базиса в старом базисе называется матрицей преобразования базиса.

Используя матрицу преобразования базиса формулы (1) можно записать в виде:

(1.3)

Умножение матрицы-строки на матрицу преобразования в (1.3) производится по правилам умножения матриц.

Пусть вектор в старом базисе имеет координаты , а в новом базисе — координаты , т.е.

,

где - координатные столбцы вектора .

Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (1.3), получаем

(1.4)

Последнее выражение устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы преобразования на координатный столбец вектора в новом базисе.

С помощью последующего выражения находим связь координат вектора на плоскости при замене базиса:

(1.5)

где — координатные столбцы вектора относительно базисов

и на плоскости соответственно, — матрица перехода от базиса к базису .

Рассмотрим матрицу перехода от одного базиса к другому. Эта матрица обладает следующими свойствами:

1. Пусть в пространстве имеются три базиса и известны матрицы перехода: от базиса к базису ; от к ; от к . В этом случае матрица композиции преобразований базисов и равна произведению матриц преобразований базисов:

(1.6)

2. Если -матрица перехода от базиса к базису , то матрица обратимая (невырожденная) и обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису . Координаты вектора в базисах и связаны формулами:

3. Определитель матрицы перехода от базиса к базису равен отношению ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах (рис.1.2,а):

Определитель матрицы перехода от базиса на плоскости к базису равен отношению ориентированных площадей параллелограммов, построенных на базисных векторах (рис.2.,б):

Определитель матрицы перехода положительный, если эти базисы одноименные (оба правых или оба левых), и отрицательный, если базисы разноименные (один правый, а другой левый).

Рис.1.2

4. Любая невырожденная квадратная матрица (2-го или 3-го порядков) может служить матрицей перехода от базиса к базису (на плоскости или в пространстве соответственно).

Докажем первое свойство. Запишем связь (5) для данных базисов:

Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем .

Сравнивая с третьим равенством, приходим к (6).

Докажем второе свойство. Пусть — матрица перехода от базиса к базису . Учитывая, что матрица перехода от базиса к базису — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам . Для трех базисов аналогично получаем: . Следовательно,

Докажем третье свойство для базисов в пространстве. Пусть - матрица перехода от стандартного базиса к базису , где , , . По формулам преобразований ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах переходим к смешанному произведению или, что то же самое, к определителю . Аналогично, если — матрица перехода от стандартного базиса к базису , то . Из первых двух свойств матрицы перехода следует, что .

что и требовалось доказать.

Преобразование координат точки при замене системы координат.

Пусть в пространстве заданы две системы координат (старая) и (новая), известна матрица перехода от базиса к базису , а также координаты вектора переноса начала координат в старом базисе :

Пусть и — координаты точки относительно старой и новой систем координат. Требуется найти формулы, связывающие старые и новые координаты точки .

Запишем векторное равенство в координатной форме (в старом базисе ), учитывая, что координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки, а старые и новые координаты вектора связаны между собой. Получим

(1.7)

Формула (1.7) устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат в пространстве, выражая старые координаты через новые. Аналогичная формула

(8)

устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат на плоскости, выражая старые координаты через новые.

Формулы вида (1.7) или (8): с любой невырожденной матрицей задают аффинное преобразование координат на плоскости или в пространстве. По этим формулам можно для любой старой системы координат установить новую систему координат, поскольку известен вектор переноса начала координат (координатный столбец S) и координаты новых базисных векторов в старом базисе (координатные столбцы являются столбцами матрицы ), и наоборот, по новой системе координат восстановить старую.

Здесь уместно, на наш взгляд, сделать одно замечание. Речь идет о понятии изоморфности пространства [2].

Аффинные пространства L и называются изоморфными, если существует такое взаимно-однозначное отображение f: и такой изоморфизм F: , что для любых двух точек выполнено

Отметим, что могут быть изоморфны аффинные пространства только одной размерности. Естественно, что для двух пространств разных размерностей изоморфизм F отсутствует.

Остановимся на рассмотрении аффинных преобразованиях плоскости. Но прежде чем рассматривать аффинные преобразования плоскости рассмотрим некоторые основные понятия, без которых невозможно описывать преобразования. Линейное преобразование

вместе с последующим преобразованием сдвига называют аффинным преобразованием. Аффинное преобразование Т (transition (анг.) – преобразование) в пространстве можно представить в матричной форме:

.

.

Аффинное преобразование плоскости однозначно определяется тройкой точек, не лежащих на одной прямой и их образами.

Предположим, некоторое аффинное преобразование Т отображает точки и точки .

Одним из основных понятий является понятие движения. Это понятие связано с фиксацией точек с определенными координатами. Поскольку о методах преобразованиями координат при переходе от одного базиса к другому говорилось ранее во введении, то остановимся на рассмотрении тривиального случая, когда рассматриваются лишь любые две точки на плоскости. Движением называется такое преобразование плоскости, при котором сохраняется расстояние между двумя любыми точками. Следовательно, при движении расстояние между образами X/ и Y/ равно расстоянию между их прообразами X и Y. Различают собственное и несобственное движения. Всякое собственное движение может быть представлено как перенос или вращение вокруг некоторой точки. Любое несобственное движение представляется в виде параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрично относительно прямой, имеющей то же самое направление. Согласно приведенному определению движения следует, что при движении сохраняются углы. Это заключение логически следует из того, что выполняется равенство треугольников АВС и А/В/C/ по трем сторонам и таким образом выполняется равенство соответствующих углов.

Таким образом, при движении прямоугольная система координат переходит в прямоугольную (рис.1.3,а). Получим формулы, выражающие координаты образа через координаты прообраза:

(такое движение называется собственным);

(такое движение называется несобственным).

Рис 1.3

Делаем вывод, что собственное движение является аффинным преобразованием с матрицей

,

а несобственное — с матрицей

.

На рис. 1.3 а изображены исходная система координат и новая система координат ,в которой координаты образа любой точки совпадают с координатами прообраза в старой системе координат

В полной мере это относится к реперам.

На плоскости можно задать два аффинных репера. Репер — упорядоченная в плоскости тройка точек, не лежащих на одной прямой. В частности, репер может быть ортонормированным прямоугольником (Декартовым).

Аффинное преобразование плоскости, как частный случай преобразования пространства, можно охарактеризовать действиями над реперами.

Приведем следующее определение: Аффинным преобразованием плоскости называется такое преобразование, при котором репер переходит в репер и при этом для любой точки плоскости с координатами в репере ( ) переходит в точку с теми же координатами в репере ( ) [3].

Рассмотрим аффинное преобразования плоскости с учетом преобразования координат.

В этом случае преобразование плоскости можно задать двумя скалярными функциями двух переменных

.

Преобразование можно задать вектором-функцией

.

Преобразование А плоскости называется аффинным, если координаты образа Y выражаются через координаты прообраза X по формулам

.

Матрица A = называется матрицей аффинного преобразования, y= , x= столбцы образа Y и прообраза Х являются столбцами радиус векторами и , a = столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. Столбец a = определяет координаты образа O´=A(О) начала координат. При для точки =A(О) получим координаты точки а: , .

Рассмотрим другую любую аффинную систему координат . Пусть известна матрица перехода . Известен переход от старого базиса к новому базису ( ). Вектор переноса начала координат задается выражением = . Таким образом, получаем

,

координатные столбцы точек X и Y (радиус-векторов , , и ) в старой и новой системе координат.

Отсюда получаем

a +A .

Рис.1.4

Учитывая, что матрица S обратимая, выразим координатный столбец образа Y через координатный столбец прообраза X в системе координат :

.

Получили аффинное преобразование с матрицей и координатным столбцом ) вектора переноса.