«Методическое обеспечение курса «стереометрия» для студентов специальности «математика»»

При решение таких задач важно провести методически правильный анализ, правильно понять условия взаимного расположения сферы (шара) и геометрических тел, иметь хорошее геометрическое воображение. Как правило, только в этом случае удается сложную пространственную задачу решить и разложить на элементы

Шаром называется тело, ограниченное ссферой. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центрoм в О сoдержит все точки пространства, которые располoжены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая точку О), и не содержит других точек.

Рис.3 Рис.4

Рис.5

Шаром также называют фигуру вращения полукруга вокруг его диаметра (рис.3). Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью (рис.4). Всякое сечение шара плоскостью есть круг (рис.5). Центр этогоо круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Рис.6

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью (рис.6).

Рис.7 Рис.8

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис.7), а сечение сферы – большой окружностью (рис.8).

Рис.9 Рис.10

Шаровой сектор – геометрическое тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (Рис.9). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием (Рис.10).

В пространстве для шара и плоскости возможны три случая:

Рис.11

1) Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса шара, то шар и плоскость не имеют общих точек (рис.11).

Рис.12

2) Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку (рис.12).

Рис.13

3) Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг (рис13). Центр этого круга является проекцией центра шара на данную плоскость. Пересечение плоскости со сферой является окружностью указанного круга.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема. Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости (Рис. 14).

Доказательство:

Предположим, что СА не перпендикулярен плоскости, следовательно, СА-наклонная к плоскости (Рис. 14), следовательно, СА > R , но точка А принадлежит сфере, то получаем противоречие, значит СА перпендикулярен плоскости.

Теорема(обратная). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна и его радиусу проведенный в точку касания.

Теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

§2. Призма

Рис.14 рис.15

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой (рис.14).

Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn называются основаниями, а параллелограммы (1) – боковыми гранями призмы. Отрезки А1В1,А2В2…АnВn называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn называют n-угольной призмой. На рис.15 изображены треугольная и шестиугольная призмы.

Рис.16 Рис.17

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (высота Н – на рис.16).

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой (рис.17), в противном случае – наклонной (рис.16). Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники (рис.15).

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. Площадь полной Sп.п поверхности выражается через площадь Sбок боковой поверхности площадь основания призмы формулой:

Sп.п = Sбок+2Sосн

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство.

1) Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, т.е. , где а1,а2,…,аn – стороны призмы, а в1=в2= … =вn=h – высота призмы;

2) Выносим общий множитель h за скобки, получаем , а , т.е. Р – периметр основания призмы.

Следовательно, Sбок=Ph. Теорема доказана.

§3. Пирамида

Пирaмидой нaзывается мнoгогранник, который состoит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (Рис. 18).

Oтрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, нaзываются бoковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань - треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной - сторона основания пирамиды.

Высoтой пирaмиды нaзывается перпендикуляр, oпущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирaмида называется п-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

§4. Конус

Кoнусом нaзывается телo, oбразованное всеми oтрезками, сoединяющими данную точку вeршину кoнуса - с точками некоторого круга - основания кoнуса. Oтрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Кoнус нaзывается прямым, если прямая, сoединяющая вeршину кoнуса с центром oснования, перпендикулярна плоскости основания. Прямой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.19).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

Теорема. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис.20).

§5. Цилиндр

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей (Рис. 21). Отрезки с одним концом на окружности этого круга называются образующими цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований цилиндра - двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и боковой поверхности.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Глава 2. Сфера, вписанная в призму

§1. Сфера, вписанная в призму

Теорема 1. В наклонную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в ее перпендикулярное сечение можно вписать окружность, и диаметр этой окружности равен высоте призмы.

Необходимость.

Дано:

ABCDA1B1C1D1 – призма;

- сфера, вписанная в призму;

Доказать:

2ОМ1 = ТТ1;

В A0B0C0D0 вписана окружность;

Доказательство:

1. Пусть сфера - вписана в призму ABCDA1B1C1D1. Докажем, что в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен его высоте.

2. Проведем через центр сферы О прямую SS1 || AA1, тогда эта прямая пересечет основание призмы соответственно S1 и S.Опустим из точки О соответственно перпендикуляры на 2 боковые грани призмы OM1 (BB1C1), OM2 (ABB1) (Рис. 22).

3. Через три точки (OM1М2) проходит плоскость , которая соответственно пересекает BB1, причем (п. 2), данная плоскость будет пересекать остальные ребра

4. Плоскость будет представлять собой ортогональное сечение призмы, а, следовательно, и сферы, вписанной в эту призму. Сечение будет представлять собой окружность, вписанную соответственно в четырехугольник A0B0C0D0.

5. Опустим из точки О перпендикулярные прямые на основания призмы ОТ, ОТ1.

6. ТТ1 будет равен высоте призмы, т. е. ;

7. Грани призмы являются касательными к сфере, т. е. радиус проведенный к точке касания плоскости со сферой будет перпендикулярен к плоскости (§1, п. 1);

8. Из всего следует, что (r радиус сферы) ;

9. Тогда сечением сферы плоскостью A0B0C0D0 будет окружность с радиусом r=OM1 и она вписана в данную плоскость.

Достаточность.

Дано:

ABCDA1B1C1D1 – призма;

В A0B0C0D0 вписана окружность;

A0B0C0D0 SS1;

ТТ1 = 2ОМ1 ;

Доказать:

Cфера вписана в призму ABCDA1B1C1D1;

Доказательство

1. Пусть в перпендикулярное сечение вписана окружность, диаметр его равен высоте призмы. Надо доказать, что в эту призму можно вписать сферу.

2. Проведем через центр окружности OM1 (BB1C1), OM2 (ABB1);

3. Точки M1, M2 являются точками касания окружности и перпендикулярного сечения призмы;

4. Тогда из обратной теоремы (§1, п. 1) следует, что ;

5. Опустим из центра окружности высоту призмы ТТ1;

6. ТТ1 = 2ОМ1 (по условию) ОТ=ОТ1=ОМ1=ОМ2;

7. Таким образом, точка О будет равноудалена от граней и оснований призмы на расстояние r, следовательно в данную призму можно вписать сферу с центром в точке О и радиусом r.