«Теория вероятностей и математическая статистика»

4. В круг радиуса R = 10p1 помещен круг радиуса r = p2. Найти веро-ятность того, что точка, наудачу брошенная в круг радиуса R, попадет также и в круг радиуса r. Предполагается, что вероятность попадания точки

в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

Задания по теме 2

1. Вычислите .

2. С помощью правила симметрии вычислите:

.

3. В учебной группе студентов. Сколькими способами их можно разбить на бригады по p1 человек?

4. В рекламном агентстве имеется p1 + p2 + p3 агентов и четыре

менеджера. Сколькими способами можно составить бригаду, состоящую из трех агентов и одного менеджера?

5. Сколькими способами можно составить (p1+p2)-значное число,

в состав которого входят две двойки и три шестерки?

6. На иномарке, скрывшейся с места ДТП, был p1-значный номер,

в котором имелось три четверки, а остальные цифры не повторялись. Сколько номеров необходимо проверить по картотеке ГИБДД, чтобы найти нарушителя?

Замечание: Студенты, у которых p1  3, для данной задачи принимают значение p1 = 6.

7. Сколькими способами можно составить сувенирный набор из p1 ложек, p2 вилок и p3 ножей?

8. Составим слово из имени и фамилии студента. Сколькими способами можно переставить буквы в этом слове, чтобы получились все возможные различные наборы букв?

9. В распоряжении финансового дилера имеется p2 пакетов различных акций. Сколькими способами можно составить p3 комбинаций пакетов для проведения биржевой операции?

10. Сколькими способами можно упаковать (p1+p2+p3) различных книг в три ящика соответственно по p1, p2 и p3 книги в каждом ящике?

Задания по теме 3

1. Бросаются три игральных кубика. Определите вероятность появле-ния ровно p2 очков.

2. Среди (p1 + p2 + p3) деталей имеются четыре бракованных. Произ-вольно вынимаются пять деталей. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна – бракованная?

3. На экзамен вынесено (p1•p2•p3) вопросов, причем студент может

ответить на три четверти этих вопросов. Для получения тройки надо отве-тить не менее чем на три вопроса, четверки – на четыре и пятерки –

на пять. Определить вероятность получения студентом оценок 2, 3, 4 и 5.

4. На трех станках изготавливаются патроны. На первом станке

в минуту изготавливается p1 патронов, на втором – p2 и на третьем – p3. Установлено, что после одного часа работы на первом станке 2% патронов, на втором 3% и на третьем 5% – дефектные. На контроль берется 1 патрон после каждого часа работы. Определите полную вероятность того, что

он будет дефектным.

Задания по теме 4

1. Монету бросают p1 раз. Напишите распределение Бернулли для случайной величины X – числа появлений орла в процессе бросания.

2. Учебник по математике издан тиражом 100 000 экз. Вероятность бракованного экземпляра . С помощью распределения Пуассона найдите вероятность того, что в тираже будет ровно p2 бракованных книг.

3. Для закона распределения, заданного таблицей

Х 1 2 4 7 8 10

p a1 a2+0,04 a3+0,01 a1+a2 a2+a3 0,95–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , построить интегральную функцию рас-пределения.

4. Для закона распределения, заданного таблицей

Х 1 2 5 7 9 12

p a1 a2+0,06 a3+0,03 a1+a2 a2+a3 0,91–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , постройте график функции распределения.

Задания по теме 5

1. Для случайной величины, заданной таблицей

Х 1 2 5 7 9 12

p a1 a2+0,06 a3+0,03 a1+a2 a2+a3 0,91–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , определите математическое ожидание.

2. Для случайной величины, заданной таблицей

Х 1 2 4 8 9 12

p a1 a2+0,06 a3+0,03 a1+a2 a2+a3 0,91–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , определите медиану.

3. Для случайной величины, заданной таблицей

Х 1 2 5 7 9 11

p a1 a2+0,04 a3+0,03 a1+a2 a2+a3 0,93–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , определите дисперсию.

4. Для случайной величины, заданной таблицей

Х 1 2 5 7 9 12

p a1 a2+0,06 a3+0,03 a1+a2 a2+a3 0,91–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , определите среднеквадратическое откло-нение.

5. Для случайной величины, заданной таблицей

Х 1 2 5 7 9 12

p a1 a2+0,02 a3+0,03 a1+a2 a2+a3 0,95–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , определите модальное значение.

6. Для случайной величины, заданной таблицей

Х 1 2 4 7 8 10

p a1 a2+0,04 a3+0,01 a1+a2 a2+a3 0,95–(2a1+3a2+2a3)

где ; ; , определите начальные и центральные теоретические моменты первых трех порядков.

Задания по теме 6

1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией в интервале . Определите математическое ожидание, дисперсию и стандарт этой величины.

2. Известно, что случайная величина X имеет нормальное распределе-ние, описываемое плотностью:

Определите дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой слу-чайной величины.

3. Известно, что случайная величина X имеет нормальное распределе-ние, описываемое плотностью:

Определите математическое ожидание этой случайной величины.

4. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной величины X равны соответственно 3p1 и p2.

Запишите закон распределения и найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале .

5. Постройте график функции плотности равномерного распределения случайной величины, считая, что все возможные значения этой величины заключены в интервале (min(p1,p2), max(p1,p2)).

6. Найдите функцию плотности распределения линейной функции Y=p2X + 1, если аргумент распределен нормально, причем математическое ожидание X равно 5, а среднеквадратическое отклонение равно 1.

Задания по теме 7

1. Найдите математическое ожидание показательного распределения:

2. Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение показа-тельного распределения:

3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной вели-чины, имеющей распределение Стьюдента с р2 степенями свободы.

4. Постройте функцию плотности вероятности «хи-квадрат» распре-деления для числа степеней свободы равному p1.

5. Постройте функцию распределения Фишера-Снедекора и функцию плотности вероятности этого распределения при условии, что числа степе-ней свободы равны соответственно p2 и p3.

6. Определите интервал, в котором практически достоверно заключены значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, если известно, что математическое ожидание этой величины равно max(p1,p2), а среднеквадратичное отклонение равно min(p1,p2).

7. Постройте двухпараметрическую функцию распределения Вейбулла и функцию плотности вероятности этого распределения при условии, что числа степеней свободы равны соответственно 1/p2 и p3.

Задания по теме 8

1. Построить полигоны частот и относительных частот по распределе-нию выборки:

xi 2 4 7 8 9 12

ni

2p2 p2

p3 3p3

2. Постройте гистограммы частот и относительных частот по распреде-лению выборки:

№

интервала Интервал,

Сумма частот

вариант интервала,

ni

1 3 – 5 p1

2 5 – 7 2p2

3 7 – 9 3p3

4 9 – 11

5 11 – 13

6 13 – 15

7 15 – 17 p1+p2

3. Для генеральной совокупности, заданной распределением:

xi 5 10 15 20 25 30 35

Ni p1 3p1 p2 2p2

2p3

Найдите генеральную среднюю, генеральную дисперсию, генеральное стандартное отклонение, моду, медиану и размах.

4. Из генеральной совокупности сделана выборка, заданная распреде-лением:

xi 2 4 6 8 10 12 14

ni p2 2p2 p1

p3 2p3 p2+p3

Найти выборочную среднюю выборочные дисперсию и стандартное отклонение.

Задания по теме 9

1. Из генеральной совокупности сделана выборка, заданная распреде-лением:

xi 2 4 6 8 10 12 14

ni p2 2p2 p1

p3 2p3 p2+p3

Найдите несмещенные дисперсию и стандартное отклонение.

2. По данным p2 измерений некоторой величины найдены средняя

результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное зна-чение измеряемой величины.

3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвест-ной вероятностью p появления события А в каждом испытании. Найдите доверительный интервал для оценки p с надежностью, равной 0,95, если

в 5p1 испытаниях событие А появится p2 раз.

4. Из партии объемом 100p1 однородных товаров для проверки

по схеме случайной бесповторной выборки отобрано 10p3 товаров, среди которых оказалось 8p3 небракованных. Найдите вероятность того, что доля бракованных товаров во всей партии отличается от полученной доли

в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине), а также границы, в которых с надежностью 0,96 заключена доля бракованных товаров

во всей партии.

5. Из 1000p3 вкладчиков банка по схеме случайной бесповторной

выборки было отобрано 50p1 вкладчиков. Средний размер вклада в выборке составил 100p2 руб., а среднеквадратическое отклонение 30p2 руб. Какова вероятность того, что средний размер вклада случайно выбранного вкладчика отличается от его среднего размера в выборке не более чем на 5p2 руб.

(по абсолютной величине)?

Задания по теме 10

1. Имеются две независимые выборки с объемами n=10p1 и m=20p2, которые извлечены из нормально распределенных генеральных совокуп-ностей. Для этих выборок найдены выборочные средние x=40p2 и y=50p3. Кроме этого, известны генеральные дисперсии D(X)=8,5p3 и D(Y)=7,5p2. При уровне значимости α=0,01 проверьте нулевую гипотезу

H0: M(X)=M(Y), если альтернативная гипотеза H1: M(X)2. Из генеральных совокупностей X и Y, распределенных по нормаль-ному закону, извлечены малые выборки с объемами соответственно n = p1 и m = p3, выборочными средними x = p2/2 и y = p3/3 и исправленными

дисперсиями sX2 = p1/50, sY2 = p3/80. При уровне значимости α = 0,05

проверьте нулевую гипотезу H0: M(X)=M(Y), если альтернативная гипотеза H1: M(X) M(Y).

3. Произведено 100p1 независимых испытаний, в которых событие A появлялось с относительно частотой равной 0,06. При уровне значимости

α = 0,05 проверьте нулевую гипотезу H0: P(A) = p= p0 = p3/500, если аль-тернативная гипотеза H1: p p0. Считается, что по теореме Лапласа относи-тельная частота распределена по закону, близкому к нормальному.

Задания по теме 11

1. Найдите коэффициент корреляции и определите тесноту связи двух вариантов, заданных таблицей:

xi 0,1p1 0,3p2 0,5p3 p1 p3

yi p3 p2 2p1 3p3 4p2

2. Определите выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X и постройте его график по данным наблюдений, представленных в следую-щей таблице.

xi p1 2p2 3p3 4p1 5p2

yi 3p3 2p1 p2 p1 p3

3. Из опыта известно, что значению p1 величины Y соответствуют 4 значе-ния p2 величины X, 3 значениям 2p3 величины X соответствует

значение p3 величины Y, значению 3p1 величины X не соответствует ни одно значение величины Y, значению 5p2 величины Y не соответствует ни одно значение величины X, 14 значениям 7p3 величины X соответствует

значение 4p1 величины Y, 11 значениям 6p3 величины Y соответствует

значение 5p2 величины X. По этим данным постройте корреляционную таблицу.

Тема 3. Исчисление вероятностей событий

Основные понятия и соотношения алгебры событий. Теорема сложения для несовместных событий. Понятие зависимости событий и условная вероятность. Теорема умножения. Теорема сложения в общем виде.

Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Тема 4. Дискретные случайные величины

Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина и закон ее распределения. Функция распределения дискретной случайной величины. График функции распределения дискретной случайной величины.

Схема повторения испытаний с бинарным исходом и биномиальное распределение. Формула Я. Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события.

Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

Геометрическое распределение.

Тема 5. Числовые характеристики дискретных случайных величин

О введении числовых характеристик случайных величин. Характеристики положения (математическое ожидание, медиана, мода) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднеквадратическое отклонение, вероятное отклонение).

Числовые характеристики случайных величин, имеющих биномиальное и геометрическое распределение.

Числовые характеристики суммы и произведения дискретных случайных величин.

Понятие о начальных и центральных моментах случайных величин.

Функции дискретного случайного аргумента и их характеристики.

Тема 6. Непрерывные случайные величины

и их вероятностные характеристики

Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения. Кривая распределения. Распределение случайной величины по закону постоянной плотности (равномерное распределение).

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Функции непрерывного случайного аргумента и их характеристики.

Тема 7. Некоторые типовые распределения случайных величин

Потоки событий. Распределение Пуассона и определяемый и простейший поток. Основные параметры и характеристики пуассоновского распределения. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального. Общность пуассоновского распределения. Экспоненциальное распределение и его характеристики.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Нормальное распределе-ние и центральная предельная теорема. Нормальная кривая, ее уравнение. Функция нормального распределения и интеграл вероятности. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал. Правило трех сигм.

Распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера и Вейбулла.

Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы

Выборочный метод, генеральная и выборочная совокупности, повтор-ная и бесповторная выборки, репрезентативная выборка, способы отбора, эмпирическая функция распределения. Сплошное и выборочное наблюде-ния. Основные задачи теории выборки. Понятие выборочной оценки неиз-вестного параметра генерального распределения. Требования, предъявляе-мые к статистической оценке.

Вариационный ряд как результат первичной обработки результатов опыта (наблюдений). Дискретный и интегральный ряды. Средняя арифме-тическая и дисперсия, стандартное отклонение, мода, медиана, размах

вариационного ряда. Графическое представление статистических данных.

Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней

Несмещенность и состоятельность выборочной доли как оценки гене-ральной доли. Формула для расчета доверительной вероятности. Средняя квадратическая ошибка собственно случайной выборки при оценке доли при-знака при повторном и безповторном отборе членов. Выборочная средняя как оценка генеральной средней. Несмещенность и состоятельность этой оценки. Формула для расчета доверительной вероятности. Средняя квадратическая ошибка собственно случайной выборки при оценке средней при повторном

и бесповторном отборе членов.

Тема 10. Проверка статистических гипотез

Понятие статистической гипотезы. Основные этапы проверки гипотезы. Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с известными дисперсиями, а также с неизвестными,

но равными дисперсиями. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей. Проверка гипотезы о модели закона распределения. Критерий согласия Пирсона.

Тема 11. Элементы теории корреляции

Функциональная и статистическая зависимости. Корреляционные

таблицы. Групповые средние. Понятие корреляционной зависимости.

Основные задачи теории корреляции: выбор связи, оценка тесноты и существенности связи. Виды корреляционной связи: парная и множественная, линейная и нелинейная связи. Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии для парной корреляции. Определение параметров прямых регрессии методом наименьших квадратов. Коэффициент корреляции и его свойства. Оценка достоверности (значимости) выборочного коэффициента корреляции. Критерий Стъюдента. Понятие о множественной корреляционной зависимости.