«Аппроксимация табличных данных алгебраическими полиномами методом наименьших квадратов (Pascal)»

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу.

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. Также очень важно уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции.

.

Метод построения аппроксимирующей функции φ(х) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции φ(х) в виде линейной комбинации:

.

Математически условия минимума суммы квадратов отклонений Q запишем, приравнивая нулю частные производные от Q по коэффициентам сk, 0<=k<=n:

.

Из системы линейных алгебраических уравнений (3) определяются все коэффициенты сk. Система (3) называется системой нормальных уравнений. Матрица этой системы имеет следующий вид:

.

и называется матрицей Грама. Элементы матрицы Грама являются скалярными произведениями базисных функций:

.

Расширенная матрица системы уравнений (3) получится добавлением справа к матрице Грама столбца свободных членов:

.

где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично (5):

.

Стоит отметить основные свойства матрицы Грама, полезные при программной реализации алгоритмов МНК:

1) матрица симметрична, т.е. аi,j=аj,i, что позволяет сократить объем вычислений при заполнении матрицы;

2) матрица является положительно определенной, следовательно, при решении системы нормальных уравнений методом исключения Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента;

3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции φk(х), при этом система (3) имеет единственное решение.

При обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью e в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией φ(x), представимой одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициентов ck вычисляют величину Q по формуле (1). Если получится, что корень(Q)>e , то необходимо расширить базис добавлением новых функций φk(х). Расширение базиса необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие корень(Q)~=е.

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f(x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, свойства симметрии, наличие асимптотики и т.д. На практике чаще всего используется решение, показанное далее.