«Методическая разработка темы «супералгебры»»

Таким образом, алгебра А определяется двумя множествами:

1. непустым множеством А, обозначаемым также через |А| - это множество называется основным множеством алгебры А, а его элементы — элементами алгебры А.

2. множеством операций Ω, определенных на А и называемых главными операциями алгебры А.[9]

Если < >— алгебра, то говорят также, что множество A есть алгебра относительно операций Ω.

Алгебры А = < А, > и < В, > называются однотипными, если существует инъективное отображение множества на , при котором любая операция из Ω и соответствующая ей при отображении операция fВ из Ω' имеют один и тот же ранг. [1]

Алгебра A = < A , * ,e > типа (2,0), где А — произвольное непустое множество, *—ассоциативная бинарная операция на А, е — нейтральный элемент относительно *, называется моноидом.

Пусть А и В— однотипные алгебры, fA —произвольная главная операция алгебры A и — соответствующая ей главная операция алгебры B.

Говорят, что отображение h множества |A| в множество |B| сохраняет операцию fA алгебры A, если (1) h(fA (a1,…,am))= fB (h(a1),…,h(am )) для любых a1,., аm из |A|, где m —ранг операции fA .

Отметим случай, когда fA — нульместная операция, т. е. она выделяет какой-то элемент а алгебры A. Тогда соответствующая ей операция fB тоже будет нульместной и, значит, выделит какой-то элемент b алгебры B. В этом случае условие (1) примет вид h(a) = b, т. е. выделенный элемент а алгебры A переходит при отображении h в соответствующий ему выделенный элемент b алгебры B. [5]

Гомоморфизмом алгебры A в (на) однотипную алгебру B называется такое отображение h множества |A| в (на) |B|, которое сохраняет все главные операции алгебры A т. е. удовлетворяет условию (1) для любой главной операции fA алгебры A . Гомоморфизм алгебры A на B называется эпиморфизмом.

Гомоморфизм h алгебры A на алгебру B называется изоморфизмом, если h есть инъективное отображение множества |A| на |B|. Алгебры A и B называются изоморфными, если существует изоморфизм алгебры A на B.

Гомоморфизм h алгебры A в алгебру B называется мономорфизмом или вложением, если h является инъективным отображением множества |A| в |B|.

Подалгебры. Пусть f— n-местная операция на множестве А и В —непустое подмножество множества А. В соответствии с понятием ограничения функции множеством говорят, что n-местная операция g на В является ограничением операции f множеством В, если g(b1, ., bn) = f(b1,., bn) для любых b1, ., bn из В. В частности, нульместная операция g на В является ограничением нульместной операции f на А множеством В, если g = f, т. е. если g и f выделяют в В и A соответственно один и тот же элемент. Ограничение операции f множеством В будем обозначать символом f|B.

Пусть A = < А, Ω > и B= < В, Ω' >— однотипные алгебры.

Алгебра B называется подалгеброй однотипной ей алгебры A, если В А и тождественное отображение множества В в A является мономорфизмом алгебры B в алгебру A, т. е. для каждой главной операции fB алгебры B.

fB(b1,…,bm) = fA(b1,., bm) для любых b1,., bm из В, где m —ранг операции fA, а fB — главная операция алгебры B, соответствующая fA. Напомним, что под тождественным отображением множества В в А понимается такое отображение h, что h(b) = b для любого элемента b из В.

Подмножество В множества |A| называется замкнутым в алгебре A, если В замкнуто относительно каждой главной операции fA алгебры A, т. е.

(1) fA(b1, ., bm) В для любых b1, ., bm из В, где m — ранг операции fA. Если fA — нульместная операция, то условие (1) принимает вид fA B. Очевидно, если алгебра В есть подалгебра алгебры А, то множество |B| замкнуто в алгебре А. [8]

Одним из частных случаев алгебр являются группы, которые играют большую роль в математике и ее приложениях.

Алгебра J= типа (2, 1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):

(1) бинарная операция * ассоциативна, т. е. для любых элементов а, Ь, с из G а*(b*с) = (а*b)*с;

(2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции *, т. е. такой элемент е, что а*е = а для всякого элемента а из G;

(3) для любого элемента а из G а*а'=е.

Таким образом, группа — это непустое множество с двумя операциями на нем —бинарной операцией * и унарной операцией ', причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет правый симметричный ему элемент относительно, бинарной операции группы *. [7]

Группа J = называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы * коммутативна, т. е. для любых а, b из G a*b = b*а. [5]

Порядком группы J = < G, *, '> называется число элементов основного множества G группы, если G конечно. Если G — бесконечное множество, то группу J называют группой бесконечного порядка.

При изучении групп обычно используется мультипликативная или аддитивная форма записи главных операций группы. При мультипликативной записи бинарную операцию группы называют умножением и пишут а*b (или аb) вместо а * b, называя элемент а • b произведением элементов а и Ь. Элемент, симметричный а, обозначают а-1 и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через е, 1 или 1J и называют единичным элементом или единицей группы. При мультипликативной записи приведенное выше определение группы формулируется следующим образом.

Алгебра J = < G, +, —) типа (2,1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:

(1) бинарная операция + ассоциативна, т. е. для любых элементов а,b, с из G имеем a + (b+c) = (a + b)+c;

(2) в G имеется правый нуль, т. е. такой элемент 0, что а+0 = а для всякого элемента а из G;

(3) для любого элемента а из G a + (—а) = 0.

Гомоморфизмы групп. Пусть J = и K = < H, °, -1 > — мультипликативные группы. Говорят, что отображение h множества G в Н сохраняет главные операции группы J, если выполняются условия:

(1) h(ab) = h(a)°h(b) для любых а, b из G;

(2) h (а-1) = (h (а))-1 для любого а из G.

Гомоморфизмом группы J в (на) группу K называется отображение множества G в (на) H, сохраняющее главные операции группы J. Гомоморфизм группы J на K называется эпиморфизмом. [9]

Гомоморфизм h группы J на группу K называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества G на Н. Группы J и Kназываются изоморфными, если существует изоморфизм группы J на K.

Гомоморфизм h группы J в группу K называется мономорфизмом или вложением, если h является инъективным отображением множества G в Н.

Гомоморфизм группы J в себя называется эндоморфизмом группы J. Изоморфизм группы Jна себя называется автоморфизмом группы J

Подгруппы. Пусть J= — группа. Подгруппой группы J называется любая подалгебра этой группы.

Алгебра K= < Н, •, -1> типа (2, 1) называется подгруппой группы J = если H G и тождественное отображение множества Н в G является мономорфизмом алгебры K в J, т. е. выполняются условия:

(1) a • b=a•b для любых а, b из H;

(2) а-1 = а-1 для любого а из H.

Запись K J означает, что алгебра K является подгруппой группы J. [10].

Прoисхoждение самого слова "aлгебра" не вполне выяснено. По мнению большинствa исследователей этого вопроса, слово "алгебра" произошло от названия труда арaбского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово "алгоритм") "Аль-джабр-аль-мукабалла", то есть "учение о перестановках, отношениях и решениях", но некоторые авторы производят слово "алгебра" от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению.

Лине́йная а́лгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в общей алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках. К линейной алгебре относят: теорию линейных уравнений, теорию определителей, теорию матриц, теорию векторных пространств и линейных преобразований в них, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично).Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Фермаметода координат (около 1636). Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как матрицы, её определители и ранги. В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса. В 1877 году Фробениус предложил понятие ранга матрицы, что позволило сформулировать теорему Кронекера — Капелли.

В XX веке основным объектом изучения линейной алгебры становится векторное пространство.

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).[13]

Объект выпускной квалификационной работы – Линейная алгебра.

Предмет –алгебра.

Целью моей работы является углубить знания студентов в области линейной алгебры, которая в свою очередь необходима будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.

Актуальность данной выпускной квалификационной работы связано применением данной темы в обучении студентов.

Задачи выпускной квалификационной работы: усвоение студентами знания в области линейной алгебры и теоретическая разработка темы: «Супералгебры».

Дипломная работа состоит из трех глав. Первая и вторая глава содержит методически разработанный спецкурс. Третья глава посвящена решению Третья глава посвящена методической разработке темы: Супералгебры.

В спецкурсе изложены вопросы связанные с ассоциативной, Лиевой и Иордановой алгебрами.

Теоретический материал данного спецкурса был предложен доцентом кафедры алгебры и геометрии БГПУ им.М.Акмуллы Голубчиком И.З.

Мною проведены доказательства ряда теорем и предложений, содержащихся в нём, и методически разработана глава III «СУПЕРАЛГЕБРЫ».

Для облегчения восприятия материала, который опирается на курс алгебры и теории чисел, каждый параграф начинается с формулировок ранее известных студенту определений. Далее, новые понятия вводятся в абзацах начинающихся словом "Определение". После введения понятия, оно конкретизируется на примерах, которые следуют ниже.

Теоретический материал спецкурса разбит на три главы. В первой главе рассматриваются матричные единицы и основные их свойства. Вторая глава знакомит с алгеброй Ли и Иордановой алгеброй, подробно рассматриваются примеры этих классических алгебр, связанных с инволюцией. Третья глава знакомит Супералгеброй, предлагается ряд серьёзных задач, которые могут послужить основой студенческих научных работ: курсовых и дипломных.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида a•x+b=0 (a 0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения x2=2, x3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. [4]

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение x2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение x2+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i . Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B•i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения A+B•i.[14]

Определение 1.1.

Комплексным числом называется число вида z=x+iy, где х и у вещественные числа , а i-мнимая единица, удовлетворяющей равенству .При этом х называется вещественной частью а у—мнимой частью числа z, что записывается так: x=Re z, y=Im z.

Арифметические операции над комплексными числами.