«Методические рекомендации к изучению курса «дифференциальная геометрия»»

Выпускная квалификационная работа посвящена разработке методических рекомендаций для изучения курса «Дифференциальная геометрия» и «Основания геометрии».

Целью нашей работы является создание методического пособия к изучению курса «Дифференциальная геометрия» и «Основания геометрии»

Задачи выпускной квалификационной работы:

1) проработать учебно-методическую литературу по выбранной теме исследования;

2) разбить выбранный теоретический материал по главам, а главы разбить на параграфы;

3) к каждому параграфу подобрать и решить ключевые задачи, и задачи для самостоятельного решения;

4) к каждому параграфу составить вопросы для проверки теоретических знаний;

5) к каждой главе составить тесты для проверки теоретических и практических знаний.

Данные методические рекомендации предназначены для студентов 2 курса направления «Педагогическое образование» и могут быть использованы для самостоятельной работы студентов при подготовке к практическим занятиям, при подготовке к курсовой работе, зачету, экзамену. Данная работа будет полезна также преподавателям для организации самостоятельной работы студентов и проверки их практических и теоретических знаний.

Работа состоит из двух глав:

1) Основания геометрии;

2) Дифференциальная геометрия.

В первой главе рассматриваются – система аксиом Вейля трехмерного Евклидова пространства; требования, предъявляемые системам аксиом; абсолютная геометрия; V постулат Евклида; геометрия Лобачевского.

Во второй главе рассматриваются элементы топологии; понятия линии, поверхности; координатная сеть на поверхности; линии кривизны.

В будущем, при работе с данным пособием, студентам рекомендуется рассмотреть теоретический материал в каждом параграфе, обращая внимание на приведенные в конце параграфа вопросы, разобрать решенные ключевые задачи, затем приступить к самостоятельному решению предложенных задач и в конце проверить свои практические и теоретические знания, ответив на тестовые задания.

3) появление аналитической геометрии (первая половина XVII в.). Появляется аналитическая, дифференциальная и начертательная геометрия;

4) начинается с построения новой не евклидовой геометрии в 1826г.

Главная особенность нового периода геометрии состоит в развитии новых геометрических теорий, возникают теории новых геометрических пространств.

Аксиоматический метод построения геометрии:

основные понятия;

в) формулируются аксиомы, т.е. утверждения, принимаемые без доказательства, которые описывают основные свойства основных понятий;

г) даются определения другим понятиям, т.е. все понятия, не являющиеся основными, определяются через основные понятия и понятия ранее введенные;

д) доказываются теоремы – утверждения, которые получают логическим выводом из аксиом и определений.

Замечание:

При аксиоматическом построении геометрии возможно использование понятий другой аксиоматической теории.

Определение

Две системы аксиом называются эквивалентными, если теории, основанные на этих системах, совпадают.

Это значит, что в теории, определяемой каждой из этих систем аксиом можно построить основные понятия другой аксиоматики, так что все ее аксиомы будут являться теоремами в первой.

§1 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства 3

Основные объекты: точки, множество точек ; векторы, множество векторов V; множество вещественных чисел .

Основные операции: сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов, откладывание вектора от точки.

5 групп аксиом:

I группа – аксиомы сложения векторов:

Операция сложения двух векторов, каждой упорядоченной паре двух векторов ставит в соответствие третий вектор, который называется суммой векторов и обозначается . Удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ( ];

2) ( ];

3)

4)

II группа – аксиомы умножения вектора на число:

Операция умножения вектора на число, каждому вектору и вещественному числу ставит в соответствие вектор, который называется произведением вектора на число и обозначается . Удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ( ;

2) ( ;

3) ( ;

4) (

III группа – аксиомы размерности:

1) 3 линейно-независимых вектора;

2) 4 вектора линейно-зависимы.

IV группа – аксиомы скалярного умножения:

Операция скалярного умножения двух векторов каждой упорядоченной паре векторов ставит в соответствие вещественное число, которое называется скалярным произведением векторов и обозначается . Удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ( ];

2) ( ;

3) ( [ ];

4) [ ].

V группа – аксиома откладывания вектора от точки:

Операция откладывания вектора от точки, каждой упорядоченной паре точек А и В, ставит в соответствие определенный вектор, обозначаемый .Удовлетворяет следующим аксиомам:

1)

2)

Вопросы:

1. Укажите все периоды развития геометрии.

2. Каковы основные задачи основания геометрии?

3. В чем заключается аксиоматический метод построения геометрии?

4. Какие две системы аксиом называются эквивалентными?

5. Укажите основные объекты и основные отношения аксиоматики Вейля.

6. Перечислите все аксиомы аксиоматики Вейля.

7. Перечислите аксиомы сложения векторов.

8. Перечислите аксиомы умножения вектора на число.

9. Перечислите аксиомы скалярного умножения.

10. Перечислите аксиомы откладывания вектора от точки.

11. Перечислите аксиомы размерности.

§2 Простейшие понятия и теоремы евклидовой геометрии (в схеме Вейля)

1. Прямая

Определение

Прямой называется множество точек М таких, что , где М0 – заданная начальная точка, W1 – направляющее подпространство принадлежащее .

}.

– множество всех векторов с операциями сложения, умножения вектора на число, скалярного умножения, удовлетворяющий аксиомам I – IV.

Если W1=L(a), , то =t }, t (Рис.1).

Обозначения:

А, В, С – точки; – векторы:

– прямые; .

В качестве направляющего вектора можно взять любой ненулевой вектор коллинеарный вектору :

.

Из определения видно, что прямая содержит бесконечное множество точек.

Теорема 1

Через две точки можно провести единственную прямую: .

Доказательство:

Существование:

Рассмотрим прямую

. (*)

Пусть (Рис.2).

Единственность:

Рассмотрим еще одну прямую .

совпадает с направляющим подпространством прямой , так как и .

.

Теорема 2

Две различные прямые либо не имеют общих точек, либо пересекаются в единственной точке: либо .

Доказательство: МОП.

Предположим, что две прямые имеют более одной общей точки, тогда по Теореме 1 через две точки можно провести единственную прямую. Значит прямые совпадают, что противоречит условию теоремы. Значит наше предположение неверно. Теорема доказана.