«Методические рекомендации к изучению курса «евклидово пространство»»

Данные методические рекомендации предназначены для студентов 1 курса физико-математического факультета направления «Педагогическое образование» и могут быть использованы для самостоятельной работы студентов, при подготовке к практическим занятиям, при подготовке к курсовой работе, зачету, экзамену. Данная работа будет полезна преподавателям для организации самостоятельной работы студентов, проверки их практических и теоретических знаний.

Целью работы является создание методического пособия к изучению курса «Евклидово пространство».

Задачи выпускной квалификационной работы:

1) подобрать учебно-методическую литературу по выбранной теме исследования;

2) разбить выбранный теоретический материал по главам, а главы по параграфам;

3) к каждому параграфу подробно решить ключевые задачи и подобрать задачи для самостоятельного решения;

4) к каждому параграфу составить вопросы для проверки теоретических знаний;

5) к каждой главе составить тесты для проверки практических и теоретических знаний.

Работа состоит из двух глав. Глава первая «Аксонометрия» посвящена методам изображений плоских и пространственных фигур, а также построению сечений многогранников. Она состоит из 4 параграфов. Во второй главе «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» рассматриваются такие вопросы как аксиоматический метод построения геометрии; векторное, евклидово векторное, аффинное и евклидово n – мерные пространства; квадратичные формы и квадрики; классификации квадрик. Она состоит из 5 параграфов. Заканчивается работа заключением и списком литературы.

В будущем при работе с данным пособием студентам рекомендуется сначала рассмотреть теоретический материал в каждом параграфе, обращая внимание на приведенные в конце параграфа вопросы; разобрать решенные ключевые задачи; затем приступить к самостоятельному решению предложенных задач; и в конце проверить свои практические и теоретические знания, ответив на тестовые задания.

Рис.2

Позиционная задача состоит в следующем:

Даны изображения двух фигур. Нужно построить изображения пересечения этих фигур.

Изображение фигуры называется полным, если к нему можно присоединить изображение аффинного репера так, что все точки, прямые и плоскости, определяющие данную фигуру, являются заданными.

Позиционная задача на полном изображении решается однозначно (не допускается произвол в изображении), так как каждому построению на плоскости изображений однозначно соответствует определенное построение в пространстве.

Если изображение неполное, то сначала его нужно пополнить, а затем решать на полном изображении.

Изображение плоской фигуры всегда полное. Действительно, если фигура расположена в одной плоскости, то мы всегда можем принять эту плоскость за координатную плоскость . В оригинале точка совпадает с точкой (рис.3), а на изображении точка совпадает с точкой (рис.4).

В этом случае аксонометрическая проекция точки совпадает со вторичной аксонометрической проекцией . Это означает, что изображение будет полным. [2]

Вопросы

1. какое изображение фигуры называется полным?

2. какая проекция называется аксонометрической?

3. какая точка называется проекцией точки?

4. когда изображение плоской фигуры является полным?

Упражнения

Построить изображение сечения:

1. треугольной призмы плоскостью, проходящей через 3 точки, лежащие по одной в боковых гранях.

Решение

Дано: - изображение призмы ,

- изображения точек .

Построить: изображение

Задача позиционная. Докажем, что изображение полное.

║ ,

║ ,

║ ,

Аффинный репер - изобр.

лежат в координатных плоскостях, следовательно, для каждой из этих точек аксонометрическая проекция совпадает с одной из вторичных аксонометрических проекций, то есть эти точки заданы на изображении.

Вывод: изображение полное.

Следовательно, наша позиционная задача будет решаться однозначно, то есть произвол в построении недопустим.

Строить сечение будем методом следа. Следом одной плоскости на другой называется линия пересечения этих плоскостей.