«Математическое обеспечение курса «Математические методы в нанотехнологии»»

Основная часть работы состоит из введения, двух глав и заключения. Библиографический список содержит 15 источников, включая электронные ресурсы и ресурсы сети Интернет.

В главах проведена разбивка на параграфы по методам решения. Каждая глава включает в себя теоретический материал, примеры с разборами решений некоторых из них. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Рассматриваются дифференциальные уравнения с частными производными, метод характеристик, уравнение малых колебаний струны и краевые задачи для него, решение задачи Коши, метод Фурье, уравнение Лапласа, решение задач Дирихле, интеграл Фурье.

В первой главе дается классификация уравнений в частных производных. Для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов вводятся понятия канонических форм, предложены задачи на приведение уравнений к каноническому виду и их решение методом характеристик. В каждом параграфе представлены примеры с решениями.

Во второй главе рассматриваются основные уравнения и задачи математической физики. Она разделена на четыре части: в первой рассматривается основные дифференциальные уравнения математической физики, во второй – уравнения колебаний, в третьей – Уравнение теплопроводности и диффузии, в четвертой - уравнение Лапласа.

Практическая значимость работы состоит в том, что методические рекомендации могут быть использованы студентами и преподавателями.

Действительная функция , определенная в области D задания уравнения (1.1), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество, называется классическим (регулярным) решением уравнения (1.1).

Уравнение (1.1) называется линейным, если F линейно зависит от всех переменных вида

Линейное уравнение можно записать в виде

(1.2)

или в виде

(1.3)

где

– линейный дифференциальный оператор порядка m.

Линейное уравнение называется однородным, если f(x) ≡ 0, и неоднородным, если .

Уравнение (1.1) порядка m называется квазилинейным, если F линейно зависит лишь от частных производных порядка m:

В дальнейшем при указании частной производной функции u будем использовать эквивалентные записи:

2. Простейшие дифференциальные уравнения

с частными производными. Общее решение.

Иногда уравнение удается преобразовать введением новых независимых переменных и новой искомой функции таким образом, что его общее решение можно построить в явной форме.

Например, рассмотрим уравнение

(2.1)

Обозначив

(2.2)

запишем уравнение (2.1) в виде

(2.3)

Полученное уравнение можно рассматривать как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относительно и x. Интегрируя его, найдем

(2.4)

где – произвольная функция от y, рассматриваемого как параметр. Подставляя в (2.2) выражение для и рассматривая теперь x как параметр, будем иметь обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относительно u и y, общее решение которого имеет вид:

В силу произвольности функции , введя обозначение

общее решение уравнения (2.1), зависящее от двух произвольных функций – , можно переписать в виде:

Замечание. Учитывая свойства интегралов, в дальнейшем при записи выражений будем указывать явно пределы интегрирования, полагая верхний предел переменным, а нижний – равным 0. Такое представление удобно использовать при выделении из общего решения функции, удовлетворяющей заданным начальным условиям.

Пример 1. Считая u=u(x,y,z), построить общее решение уравнений функции, удовлетворяющей заданным начальным условиям.

Решение. 1) Решением уравнения является произвольная функция, не зависящая от переменной x: u(x, y, z) = F(y, z).

2) Интегрируя правую и левую часть заданного уравнения по переменной z, получаем его общее решение в виде

где F – произвольная функция переменных x,y, рассматриваемых при интегрировании уравнения как параметры.

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

(2.5)

Решение. Рассматривая уравнение (2.5) как обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение с параметром y, найдем вначале общее решение соответствующего однородного уравнения. Оно будет иметь вид:

А затем для построения решения заданного неоднородного уравнения применим метод вариации. Будем искать его общее решение в виде:

(2.6)

Подстановка выражения (2.6) в уравнение (2.5) дает:

Интегрируя полученное уравнение, находим

где – произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Учитывая равенство (2.6), получаем общее решение заданного уравнения.

Ответ:

Пример 3. Построить общее решение уравнения:

Решение. Заданное уравнение можно привести к виду:

Проинтегрируем уравнение по переменной x, рассматривая переменную y как параметр. В результате получим уравнение:

где – произвольная функция от y. Интегрируя полученное уравнение по переменной y, когда x рассматривается как параметр, найдем

В силу произвольности функции , вводя для интеграла от нее новое обозначение , общее решение заданного уравнения, зависящее от произвольных непрерывно дифференцируемых функций и , запишем в виде:

Замечание. Введя новую функцию можно понизить порядок уравнения. При этом предполагается, что функция u непрерывно дифференцируема достаточное число раз и допустимо изменение порядка дифференцирования. Такой прием решения уравнения использован в следующем примере.