«Математическое обеспечение курса «математика»»

Учебные планы инженерных, педагогических, экономических, юридических специальностей, специальностей в области информационных технологий предусматривают изучение курса «Математика».

Объем и содержание этого курса определяются программами, утвержденными Министерством образования и науки Российской Федерации и не зависит от формы обучения (дневное, вечернее, заочное, дистанционное).

Данное учебно-методическое пособие соответствует учебной программе по курсу высшей математики студентов второго курса, обучающихся по направлению «Электроника и наноэлектроника»

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х; у)| х > 0, у > 0}.

Функцию z = f(x; y), где (x; y) D можно рассматривать как функцию точки М (x; y) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линия, ограничивающая область, называется границей области. Точки области, которые не лежат на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z = f (x; у) в точке M0 (x0; y0) обозначают z0 =f (x0; y0) или z0 = f(М0) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке M0 (x0; y0) области D в системе координат Oxyz соответствует точка М (x0; y0; z0), где z0 = f (x0; y0) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z = f (x; y).

Например, функция имеет областью определения круг и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом R =1 (см. рис. 1).

Рис.1

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

§2. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется δ - окрестностью точки М0 (x0; y0). Другими словами, δ - окрестность точки М0 — это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом δ (см. рис. 2).

Рис.2.

Пусть функция z = f (x; y) определена в некоторой окрестности точки М0 (x0; y0). Число А называется пределом функции z = f (x; y) при и (или при М(х; у) → М0 (x0; y0)), если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х ≠ x0 и у ≠ y0 и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Записывают:

или .

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х → x0 по двум направлениям: справа и слева)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем.Для любого числа ε > 0, найдется такая δ - окрестность точки , что во всех ее точках М(x; y), отличных от М0, аппликаты соответствующих точек поверхности z = f(x; y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на ε.

Пример 1. Найти предел

Решение. ( = ),

.

Ответ. 0

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Значит справедливы утверждения: если функции f(M) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке М0 этого множества пределы A и B соответственно, то и функции , f (М) • g(М), (g(М) ≠ 0) имеют в точке М0 пределы, равные соответственно А ± В, А • В, (В ≠ 0).

§3. Непрерывность функции двух переменных

Функция z = f(x; y) (или f(М)) называется непрерывной в точке если oна:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке М0, т. е.

или .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если предел функции не существует в данной точке, то говорят, что в этой точке функция терпит разрыв. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва.

Например, имеет точку разрыва при x=0, y=0, - .

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z = f (x; y) в точке. Обозначим , , . Величины x и y называются приращениями аргументов x и y, а z - полным приращением функции f (x; y) в точке .

Функция z = f (x; y) называется непрерывной в точке М0 (x0; y0) D, если выполняется равенство , т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и y стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной.