«Методика решения нестандартных задач с целыми числами по дисциплине «Теория чисел»»

Целью данной работы является изучение и ознакомление с методикой решения нестандартных задач с целыми числами.

Для достижения поставленной цели в данной работе решались следующие задачи: рассмотреть и применить на практике методику решения нестандартных задач с целыми числами.

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных задач следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований.

Пример 1. Докажите, что любое целое число, не меньшее 2, можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел.

Доказательство. Представим целое число n > 2 в виде суммы следующим образом:

n = (n - 1) + 1.

Целые числа n - 1 и 1 взаимно просты.

Пример 2. Докажите, что любое нечетное число можно представить в виде разности двух точных квадратов.

Доказательство. Возьмем любое нечетное число в виде 2a + 1, где а — целое, и преобразуем его так:

2а + 1 = (а2 + 2а + 1) – а2 = (а + 1)2 – а2.

Пример 3. Докажите, что любое четное число вида 4а + 2, где а — целое, нельзя представить в виде разности двух точных квадратов.

Доказательство. Допустим, что существуют такие целые числа х и у, что

4а + 2 = х2 –у2, (х + у)(х-у) = 4а + 2.

Так как число 4а + 2 — четное, то числа х и у являются числами одинаковой четности и, следовательно, сумма х + у и разность х - у - числами четными. Но тогда левая часть последнего равенства делится на 4, а правая не делится. Полученное противоречие и доказывает, что таких целых х и у не существует.

Пример 4. Пусть а — любое натуральное число. Найдите какое-либо представление числа а3 в виде разности двух точных квадратов.

Решение. Пусть х и у — такие целые числа, что

х2 - у2 = а3, (х + у)(х-у) = а3.

Для того чтобы последнее равенство выполнялось, достаточно, чтобы

выполнялись два равенства

x+ y= a2,

x – y = a.

Это значит, что если числа х и у удовлетворяют такой системе уравнений, то они удовлетворяют и уравнению х2 — у2 = а3 (но не обратно). Для решения системы сложим и вычтем ее уравнения:

2x = a^2 + a,2y =a^2 —а,x=(a(a+1))/2 ,y=(a(a-1))/2

.

Итак, справедливо равенство:

a^3=(a(a+1)/2 )^2 ((a(a-1))/2 )^2

.

Пример 5. Найдите все числа вида 222.2, которые можно представить в виде суммы двух точных квадратов.

Решение. Пусть

222…2 = а2 + b2,

где а и b — целые. Тогда числа а и b могут быть только нечетными:

a = 2k + 1, b = 2l + 1 (k ∈Z, l ∈Z).

Следовательно, сумма а2 + b2 при делении на 8 дает в остатке 2:

а2 + b2 = (2k + l)2 + (2l + 1)2 = 4k(l + 1) + 4l(l + 1) + 2.

С другой стороны, из чисел вида 222.2 только число 2 при делении на 8 дает

в остатке 2, поскольку если число двоек в этом числе больше 1, то

22.2 = 22.2-100 + 22,

где первое слагаемое полученной суммы делится на 8, а второе при делении на 8 дает в остатке 6.

Ответ: 2.

Пример 6. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы двух точных квадратов тогда и только тогда, когда и удвоенное число можно представить в таком же виде.

Доказательство. 1) Сначала докажем, что если

n= а2 + b2,

где а и b — целые, то и число 2n представимо в такой же форме. Умножим записанное равенство на 2 и преобразуем получающуюся сумму:

2n = 2а2 + 2b2 = (а2 + 2ab + b2) + (а2 - 2ab + b2) = (а + b)2 + (а - b)2.

2) Докажем обратное утверждение.

Пусть

2n = а2 + b2,

где n — натуральное, а и b — целые. Тогда числа а и b имеют одинаковую четность.