«Система z на кривой»

γ(t) fk(z) d(t) = 0 ( k ≥ 1),

где С – замкнутый контур, лежащий в D, γ(t) - функция, аналитическая на С и вне С, причем γ(∞) = 0, всегда вытекало γ(t) .

1.4 Теорема единственности. Пусть функция F(z) регулярна в круге |z| < 1 и там по модулю ограничена. Если F(z) обращается в нуль в точках a1,a2, …, |an| , причем

= ∞,

то F(z) .

ГЛАВА II. О полноте системы { } на отрезке.

2.1 Теорема Мюнтца. Пусть 0 < λk ↑ ∞. Если λ-1k = ∞, то система 1 { } (k 1) полна на отрезке [0,1].

При этом система функций ƒk(t) (k 1), непрерывных на отрезке [а,b], называется полной на [а,b], если линейная оболочка этой системы (сходимость равномерная на [a,b]) совпадает с множеством всех функций, непрерывных на [a, b].

Доказательство. Известно, что любой непрерывный функционал в метрике С на [0, 1] имеет вид:

l(ƒ)= ,

где σ (t) — функция ограниченной вариации на [0, 1].

По теореме А. И. Маркушевича (Для того чтобы, система { φk(z) } была полной в D, необходимо и достаточно, чтобы из равенств

= 0 (k≥1),

где С – замкнутый контур, лежащий в D, γ(t) – функция, аналитическая на С и вне С, причем γ(∞) = 0, всегда вытекало γ(t) ≡ 0.

То есть для полноты системы { ƒk(t) } на [0, 1] необходимо и достаточно, чтобы из равенств

l(ƒk)=0 (k≥1) (1)

вытекало l(ƒ)≡ 0.

Пусть выполнены условия (1). Рассмотрим функцию

f(z)= ,

Имеем

f (0)=0, f(λk) = 0 (k≥1) (2)

Так как

|tz| = |еz ln t| = еx ln t <1, t [0, 1], x>0,

то функция f (z) регулярна и ограничена в правой полуплоскости Rе z = х>0.

Функция w = конформно отображает полуплоскость Rе z > 0 в единичный круг |w| < 1. Функция φ(w) = f (z) регулярна и ограничена в единичном круге |w| < 1 и φ(pk) = 0 (k≥1), где

pk = .

При больших k

|pk| =

и

1 - pk = > .

Поэтому (1 -| pk | ) = ∞.

Отсюда, в силу теоремы единственности (Пусть функция F(z) регулярна в круге |z| < 1 и там по модулю ограничена. Если F(z) обращается в нуль в точках а1, а2,…, |аn|, причем

(1 - | аn | ) = ∞,

то F(z) ≡ 0.)

И φ(w) = 0, значит, f (z) ≡ 0, Re z >0.

Тогда, в частности, f (k) = 0 (k≥1). Отсюда, учитывая первое из равенств (2), заключаем, что

= 0 (k = 0, 1, 2,… ).

Но система {tk} Полна на [0, 1].

Поэтому l(ƒ)=0,

Теорема доказана.