«Приложения производной»

Итак, в методике обучения математике основную цель дифференциации видят в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей. В этом и помогают профильные курсы. Приведенный в данной работе профильный курс «Различные приложения производной» знакомит учащихся с применением новых для них методов исследования функций к различным задачам. С точки зрения воспитания существенно также, что для привития учащимся любви к математике, интереса к ее понятиям и методам, следует демонстрировать им яркие, эффективные, желательно неожиданные применения этих методов в их личной практике. И заведомо большее впечатление на сознание учащегося, на его эмоциональную сферу может произвести красивое решение трудной задачи, стоящей лично перед ним, чем стандартное применение стандартного метода к решению.

Цель данного профильного курса состоит в том, чтобы расширить для учащихся круг применения производных. Одновременно курс должен способствовать и общему развитию учащихся: обеспечивать активизацию мыслительной деятельности, вызывать интерес к предмету, уметь применять полученные знания на прктике.

2-й этап. Повторение опорных знаний.

Повторяется определение производной: производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение

= при ∆x→0.

Далее вспоминаются правила дифференцирования и таблица производных.

Учитель чертит на доске таблицу (см. таб. 1):

Таблица 1.

Функция f(x) Производная f'(x)

a

xp, p R

axlna

cosx

cosx

ctgx

f(u)=f(ax+b)

И предлагает учащимся заполнить пропуски. После заполнения таблица выглядит следующим образом:

1Материал взят из [1], [9]. [13].

Таблица 2.

Функция f(x) Производная f'(x)

a 0

xp, p R

pxp-1

ax axlna

lnx

logax

-

sinx cosx

cosx -sinx

tgx

ctgx -

f(u)=f(ax+b) af'(u)=a f'(ax+b)

Правила дифференцирования.

U, V – функции, C – постоянная.

1. (CU)'=CU'

2. (U+V)'=U'+V'

3. (UV)'= U'V+UV'

4. ( )'=

5. (g(f(x)))'=g'(f(x))f'(x), где g(f(x)) – сложная функция.

Вспомним основные идеи, связанные с исследованием функций. Будем рассматривать только дифференцируемые функции. Эти сведения повторяются с помощью системы вопросов учителя.

Сначала вспомним, какие функции называются возрастающими (убывающими).

Определение 1. Функция f возрастает на P, если для x1, x2 из P, таких, что x1< x2, выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

Определение 2. Функция f убывает на P, если для x1, x2 из P, таких, что x1< x2, выполнено неравенство f(x1)>f(x2).

Мы знаем, что одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Это исследование легко провести с помощью производной. Сформулируйте соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания: если f '(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания: если f '(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Как называются промежутки, в которых функция только возрастает или только убывает?

Определение 3. Промежутки, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются промежутками монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих промежутках.

Обратное заключение также справедливо, оно выражается следующей теоремой.

Теорема. Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором промежутке, то функция на этом промежутке монотонно возрастает (монотонно убывает).

Таким образом, возрастание или убывание функции на промежутке вполне определяется знаком производной этой функции. На промежутке знакопостоянства производной функция является монотонной.

Задание 1.

Покажите, что функция y=2x3+3x2-12x+1 убывает на промежутке (-2;1).

Решение.

Достаточно убедиться в том, что производная функции при -2y'=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1).

Множитель x+2 на промежутке (-2;1) положителен, а множитель x-1 отрицателен. Значит, производная во всех точках указанного интервала отрицательна, а следовательно функция убывает.

Задание 2.

Покажите, что функция y= возрастает на промежутке (0;1) и убывает на промежутке (1;2).

Решение.

y'= (2-2x)= (1-x).

Множитель - положителен, и множитель 1-x положителен на промежутке (0;1). Значит, производная во всех точках указанного интервала положительна, следовательно, функция возрастает на данном промежутке.

Множитель 1-x отрицателен на промежутке (1;2), следовательно, функция убывает на данном промежутке.

Таким образом, мы установили, что промежутки возрастания или убывания функции совпадают с промежутками, в которых производная этой функции сохраняет знак. Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только точки, в которых f '(x)=0, а также точки разрыва.

Сформулируйте правило нахождения промежутков монотонности функции f(x).

1. Найти точки разрыва функции f(x).

2. Найти производную f'(x) данной функции.

3. Найти точки, в которых f'(x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).

4. Найденными точками область определения функции f(x) разбить на промежутки, на каждом из которых производная f'(x) сохраняет свой знак. Эти промежутки являются промежутками монотонности.

5. Исследовать знак f'(x) на каждом из найденных промежутков. Если на рассматриваемом промежутке f'(x)>0, то на этом промежутке f(x) возрастает; если же f'(x)<0, то на таком промежутке функция f(x) убывает.

Задание 3.

Найти промежутки монотонности функции y=2sinx, если 0≤x≤2π.

Решение.

1. Имеем y'=1-2cosx.

2. Находим критические точки: 1-2cosx=0, cosx= , x1= ,x2= (для данного условия).

3. Указанная область исследования [0; 2π] разбивается на промежутки [0; ), ( ; ), ( ;2π].

4. Находим

y'( )=1-2cos =1-2∙ <0, следовательно, в промежутке [0; ) функция убывает;

y'( )=1-2cos =1>0, значит, в промежутке ( ; ) функция возрастает;

y'( )=1-2cos =1- <0, поэтому в промежутке ( ;2π] функция убывает.

Задание 4.

Исследуйте на монотонность функцию f(x)=(2sinx+2cosx-11)ex+7.

Решение.

Область определения функции: D(f)=(-∞;+∞).

Найдем производную:

f'(x)=(2cosx-2sinx)ex+(2sinx+2cosx-11)ex=(4cosx-11)ex.

f'(x) <0 при всех x (-∞;+∞), поскольку ex>0 и 4cosx-11<0 при всех

x (-∞;+∞).

Следовательно, f'(x) монотонно убывает на (-∞;+∞).

Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b). Если при этом на интервале (a;x0) ее производная положительна (функция возрастает), а на интервале (x0;b) – отрицательна (функция убывает), то точка x0 является точкой максимума функции. При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус. Естественно предположить, что в этой точке производная равна нулю. Аналогичные рассуждения применимы и в случае, если x0 – точка минимума. Таким образом, в точке экстремума функции производная (если она существует) равна нулю. Это условие не является достаточным. В качестве примера можно рассмотреть функцию y=x3, производная которой y'=3x2 обращается в нуль при x=0, но эта точка не является точкой экстремума функции. Последнее связано с тем, что на любом интервале, содержащем эту точку, производная имеет один и тот же знак. Обратим внимание на тот факт, что в точке экстремума производная функции может и не существовать. Так, при x=0 производная функции y=|x| не существует.

Определение 3. Внутренняя точка области определения функции называется критической точкой функции, если в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

Признак максимума. Если функция f непрерывна в точке x0, f'(x)>0 на интервале (a;x0) и f'(x) <0 на интервале (x0;b), то x0 – точка максимума функции f.

Признак минимума. Если функция f непрерывна в точке x0, f'(x) <0 на интервале (a;x0) и f'(x)>0 на интервале (x0;b), то x0 – точка минимума функции f.

Задание 5.

Найдите ту критическую точку функции y(x)=11tgx-13x+6, которая имеет наименьшую положительную абсциссу.

Решение.

Область определения D(y) функции задается неравенством cosx≠0, откуда x≠ + πn, n Z.

Производная данной функции: y'= -13.

Приравняем производную к нулю:

-13=0 cos2x= cosx=

Критическая точка с наименьшей положительной абсциссой: x=arccos .

Задание 6.

Найдите ту критическую точку функции y(x)=(x-15)2sinx+2x cosx-2sinx-30cosx+8, абсцисса которой является целым числом. Является ли эта точка точкой экстремума функции y(x)?

Решение.

Область определения функции: D(y)=(-∞;+∞).

Найдем производную:

y'=2(x-15)sinx+(x-15)2cosx+2cosx-2xsinx-2cosx+30sinx=(x-15)2cosx.

Критические точки функции: x=15; x= + πn, n Z.

Искомая точка: x=15. В точке x=15 производная не меняет знак. Следовательно, точка x=15 не является точкой экстремума.

Следующая группа задач связана с нахождением точек экстремума функции и их классификацией. Поскольку точками экстремума могут быть только критические точки функции, для нахождения точек экстремума сначала нужно найти все критические точки функции, а затем исследовать поведение производной в окрестностях этих точек, воспользовавшись ранее сформулированными признаками максимума и минимума. Значение в точке минимума называется минимумом функции, а значение в точке максимума – максимумом функции.

Задание 7.

Найдите точки экстремума функции f(x)=(x-3)7(x-1)2.

Решение.

Область определения функции: D(f)=(-∞;+∞).

Найдем производную:

f'(x)=7(x-3)6(x-1)2+2(x-3)7(x-1)= (x-3)6(x-1)(9x-13).

Найдем критические точки функции. Для этого решим уравнение:

(x-3)6(x-1)(9x-13)=0.

Получим корни: 3; 1; .

Точки x=1 и x= - точки экстремума, так как в этих точках производная меняет знак.

Точка x=3 не является точкой экстремума, так как в ней производная не меняет знак.

Задание 8.

Найдите точки экстремума функции y(x)=14x2+196x-5x cosx-35cosx+5sinx+4.

Решение.

Область определения функции: D(y)=(-∞;+∞).

Найдем производную:

y'=28x+196-5cosx+5x sinx+35sinx+5cosx=28(x-7)+5(x+7)sinx=(x+7)(5sinx+28).

Из оценки sinx≥-1 следует, что 5sinx+28>0.

Поэтому знак y' определяется знаком выражения x+7.

В точке x=-7 производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, x=-7 является точкой минимума.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка [a;b], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [a;b] значения.

Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [a;b], но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наименьшее и наибольшее.

Задание 9.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=2sinx+sin2x на отрезке [0; ].

Решение.

Сначала найдем значения f(x) на концах данного отрезка: f(0)=0, f( )=-2, а затем критические точки, принадлежащие этому отрезку. Имеем, f'(x)=2cosx+2cos2x.

f'(x)=0, если cosx+cos2x=0, откуда 2cos cos =0.

Из уравнения cos =0 следует, что x= + n, а из уравнения cos =0 – что x=π+2πn, n Z.

Второе решение является частью первого, значит, решение уравнения f'(x)=0 имеет вид x= + n, n Z.

Отрезку [0; ] принадлежат точки x1= и x2= π.

Находим значения f(x) в критических точках: f( )=1,5 , f(π)=0.

Сравнивая между собой числа f(0), f( ), f( ), f(π), заключаем, что yнаим.=-2, yнаиб.= 1,5 .

Исследование функций с помощью второй производной.

y y

x

Рисунок 1 Рисунок 2

На рисунке 1 изображен график функции f, заданной на отрезке [a,b]. Этот график расположен выше любой проведенной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку. А график на рисунке 2 лежит ниже любой проведенной к нему касательной. В первом случае говорят, что график функции обращен на отрезке [a,b] выпуклостью вниз, а во втором – что он обращен выпуклостью вверх.

y y

Рисунок 3 Рисунок 4

Сформулируем теорему, с помощью которой мы сможем легко находить промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

Теорема 1.

Пусть на отрезке [a,b] функция f непрерывна и внутри этого отрезка f"(x)>0 (соответственно f"(x)<0). Тогда график функции f обращен на этом отрезке выпуклостью вниз (соответственно вверх).

Задание 1.

Исследовать направление выпуклости графика функции x4.

Решение.

Так как (x4)"=12x2, а 12x2≥0 и обращается в нуль лишь при x=0, то график функции x4 во всех точках обращен выпуклостью вниз.

Задание 2.

Найдем участки, где график функции x4 – 6x2+4 обращен выпуклостью вверх.

Решение.

Имеем, что (x4 – 6x2+4)'=4x3-12x, (4x3-12x)'=12x2 – 12.

Неравенство 12x2 – 12>0 выполняется на лучах (-∞; -1) и (1; +∞). Значит, на лучах (-∞; -1] и [1; +∞) график функции x4 – 6x2+4 обращен выпуклостью вниз, а на отрезке [-1;1] он обращен выпуклостью вверх.

Задание 3.

Найдите для функций промежутки, на которых график обращен выпуклостью вверх.

1. ;

2. .

Решение.

1. ( )'= = = ≥0 при любом x. Значит, график обращен выпуклостью вниз.

2. ( )'= •(4x3-12x)'= •(6x2-6).

Так как >0 в области определения функции, то график обращен выпуклостью вверх на отрезке [-1;1].

Точки перегиба.

Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на ее другую сторону. Такие точки называются точками перегиба.

y y

x x

Рисунок 5 Рисунок 6

Определение.

Точка М кривой Г называется точкой перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной ( проведенной к кривой Г в точке М) на ее другую сторону.

Теорема.

Если в точке с вторая производная функции f непрерывна и отлична от нуля, то M(c; f(c)) не является точкой перегиба для графика функции f.

Из теоремы вытекает необходимое условие, для того чтобы график функции имел перегиб в точке М: для того, чтобы график функции f имел перегиб в точке M(c; f(c)), необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке с, либо, наконец, чтобы вторая производная от f не существовала в точке с.

Пример1.

Найдем точки, где может иметь перегиб график функции x4 – 6x2+4.

Решение.

Находим, что (x4 – 6x2+4)'=4x3-12x, (4x3-12x)'=12x2 – 12.

Корнями уравнения 12x2 – 12=0 являются числа -1 и 1. Ординаты графика при x=-1 и при x=1 равны -1. Значит, точками перегиба могут быть М(-1;1) и N(1;-1).

Найденное необходимое условие не является достаточным. Например, вторая производная функции x4 равна 12x2 и обращается в нуль при x=0, но график функции x4 не имеет точек перегиба (см. рис7).

y

x

Рисунок 7

Достаточное условие для точки перегиба формулируется следующим образом:

Теорема2. Пусть функция f имеет вторую производную в проколотой окрестности радиуса h точки с и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку с вторая производная функции f меняет знак, то М(c,f(c)) является точкой перегиба для графика функции f.

Сформулируем правило нахождения точек перегиба:

1. найти вторую производную данной функции;

2. приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение;

3. определить знак второй производной в каждом из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4. если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

Пример2.

Найти точки перегиба и определить промежутки выпуклости и вогнутости графиков функций y=lnx и y=sinx.

Решение.

1. y=lnx

Находим вторую производную:

y"= - .

При всяком значении 02. y=sinx.

Находим вторую производную:

y"= - sinx.

Полагая – sinx=0, находим, что x=kπ, где k – целое число.

Если 00 и т.д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0, π, 2 π и т.д. В первом промежутке 0Следующее задание учитель предлагает учащимся решить самостоятельно.

Комплексное задание.

Найдите промежутки монотонности, экстремумы, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции y= - x3-4x2+13.

Решение.

y'=-2x2-8x;

y'=0;

-2x2-8x=0;

x=0 и x=-4 являются точками экстремума, x=0 – точка максимума, а x=-4 – точка минимума.

Функция возрастает на отрезке [-4;0], а на лучах (-∞; -4] и [0;+∞) функция убывает.

y"=-4x-8;

y"=0;

-4x-8=0;

x=-2 является точкой перегиба.

На промежутке (-∞;-2] график функции обращен выпуклостью вверх, а на промежутке (-2;+∞] график функции обращен выпуклостью вниз.

Полное исследование функций и построение их графиков.

График функции часто строят «по точкам». Однако при таком способе построения можно пропустить важные особенности графика функции. Чтобы избежать бесконечных ошибок, нужно, прежде исследовать поведение этой функции, выявить особенности ее графика.

План исследования.

1. Находят область определения функции f.

2. Исследуют функцию на четность или нечетность.

3. Находят точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

4. Находят точки разрыва функции.

5. Точки, найденные в пунктах 3 и 4, разбивают ось абсцисс на несколько промежутков – это промежутки знакопостоянства функции f, находят знак функции на каждом из этих промежутков.

6. Изучают поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и находят ее асимптоты.

7. Исследуют функцию на возрастание и убывание.

8. Находят точки максимума и минимума функции.

9. Исследуют график на выпуклость и находят точки перегиба.

10. Составляют таблицу значений функции и ее производных.

11. Учитывая проведенное исследование, строят эскиз графика функции.

Задание1.

Провести полное исследование и построить график функции f(x)= .

Решение.

1. D(f)=R.

2. E(f)=R – определено по конкретному виду функции.

3. Ни четностью, ни нечетностью, ни периодичностью f(x) не обладает.

4. Нули функции f(x)= . Решаем уравнение =0. Имеем x=0 – корень кратности два и корень x=2.

5. Отметим интервалы знакопостоянства функции:

f(x)>0 на (∞;0) и (0;2),

f(x)<0 на (2;∞).

6. Данная функция непрерывна на всей области определения. Находим

lim =+∞,

lim =-∞.

7. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет. Выясним, имеются ли наклонные асимптоты. Напомним, что наклонные асимптоты – прямые, задаваемые уравнением y=kx+b. Характерны они тем, что описывают поведение функции на бесконечности: при больших значениях x функция приближается к асимптоте как угодно близко. Ищутся k и b из условий:

k= , b= (f(x)-kx) при существовании соответствующих пределов.

Примечание.

Наклонных (и горизонтальных) асимптот может быть не больше двух – по одной на ∞.

Находим, k= =-1, b= ( +x)=

= .

Значит, наклонная асимптота есть и ее уравнение y=x+ x.

8. Найдем точки экстремума: f'(x)= .

x1=0, x2=2, где f'(x) не существует и одну стационарную точку x3= .

Поскольку на интервалах (∞;0) и (0;2) f(x)>0, а в точке x1=0 функция обращается в нуль, то x1=0 – точка минимума функции.

Далее, так как на концах отрезка [0;2] функция обращается в нуль, а всюду внутри отрезка принимает положительные значения, то x3= - точка максимума и f( )= . Наконец, x2=2 не является точкой экстремума, так как слева f(x)>0, справа f(x)<0, а при x2=2 функция принимает значение, равное нулю.

9. Продолжим исследование данной функции с привлечением второй производной.

Найдем вторую производную.

f"(x)=( )'= .

f"(x) не существует при x1=0, x2=2. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства. Имеем: на (∞;0) f"(x)<0 – выпуклость вверх, на (0;2) f"(x)<0 – выпуклость вверх, на (2;∞) f"(x)>0 – выпуклостью вниз.

10. Составим таблицу значений для некоторых значений аргумента:

x 0 2

-1

y 0 0

Таблица 3

11. Используя результаты исследования строим график функции f(x)= .

Рисунок 8

Задание 2.

Исследовать функцию f(x)= и построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции: D(f)=(-∞;2) (-2;2) (2;+∞).

2. Функция не является периодической.

3. Функция нечетна, так как f(-x)=-f(x). В самом деле, f(-x)=- = -f(x).

Значит, для построения графика функции достаточно исследовать функцию при x≥0, построить ее график при x≥0 и сделать центральную симметрию относительно начала координат. Таким образом, для дальнейшего исследования ограничиваемся промежутками (0;2) и (2;+∞).

4. Имеем f(0)=0, =-∞, =+∞.

Значит, график рассматриваемой функции имеет при x≥0 вертикальную асимптоту x=2.

Далее имеем =∞.

Так как числитель данной дробно-рациональной функции имеет степень, большую степени знаменателя на 1, то существует наклонная асимптота у= kx+b. Найдем коэффициенты k и b:

k= = =1,

b= (f(x)-kx)= ( )= =0.

Значит, уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=x.

5. График пересекает оси в начале координат, поскольку f(0)=0. Других точек пересечения с осью ординат не может быть, а с осью абсцисс в данном случае нет, так как уравнение =0 не имеет других решений кроме x=0.

Отметим интервалы знакопостоянства функции:

(0;2)- здесь функция принимает только отрицательные значения, и (2;+∞) - здесь функция принимает только положительные значения.

На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Показаны асимптоты, заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечена известная точка графика О(0;0). Это заготовка для будущего графика.

Рисунок 9

6. Найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем

f'(x)= .

Решим методом промежутков неравенство ≥0 на луче

[0; +∞). Оно выполняется там, где x≠2 и x4-21x2-36≥0. Решая это неравенство, получаем, что x≥ x1≈4,8

Итак, функция возрастает на луче [x1; +∞) и убывает на промежутках [0;2) и (2;x1].

7. Найдем точки экстремума функции. Так как в точке x= x1≈4,8 убывание функции сменяется ее возрастанием, эта точка является единственной точкой экстремума на луче [0; +∞), а именно точкой минимума. В этой точке y≈8,1.

8. Исследуем функцию на выпуклость. Имеем

f"(x)= ( )'= . Замечаем, что f"(x)=0 лишь при x=0. Значит, внутри промежутков [0;2) и (2; +∞) точек перегиба нет. Так как в интервале (0;2) имеем f"(x)<0, то на этом интервале функция выпукла вверх; так как в интервале (2; +∞) имеем f"(x)>0, то на этом интервале функция выпукла вниз.

9. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

x 0 1 3 4,8 6

f(x) 0 -3

10

8,1 8

Таблица 4

10. Воспользовавшись полученными результатами, построим график функции.

Рисунок 10

Задачи оптимизации.1

Цели урока:

1. Раскрытие перед учащимися роли производной в исследовании процессов современного производства.

2. Раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы «Производная и ее применение».

Одним из важных приложений производной является использование ее при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Такие задачи возникают там, где необходимо выяснить, как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п. Умение решать такие задачи приобретает особую значимость в связи с решением проблемы повышения эффективности и качества во всех сферах народного хозяйства.

Повторяются правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Приводится схема:

1Материал взят из [7].

1) задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирается удобный параметр x, через который интересующую нас величину выражаем как функцию f(x);

2) средствами анализа ищется наибольшее и наименьшее значения этой функции на некотором промежутке;

3) выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Задача1.

Содержание экипажа судна составляет 480 рублей в час. Расход топлива пропорционален кубу скорости судна и составляет 30 рублей в час при скорости 10 узлов. С какой скоростью судно должно совершать рейс, двигаясь равномерно, чтобы общий расход денег был минимальным?

Методика работы с задачей.

1-й этап. Понимание постановки задачи.

Учитель просит выделить условие и требование задачи.

2-й этап. Анализ условия и требования задачи проводятся с помощью системы вопросов учителя.

1. Сколько рублей в час составляет содержание экипажа судна?

2. С какой скоростью судно движется?

3. Каково соотношение между скоростью движения судна и расходом топлива?

4. Что нужно знать, чтобы найти общий расход денег?

5. Что удобнее взять за параметр x, через который будем выражать интересующую нас величину как функцию f(x)?

6. Почему будем исследовать функцию именно на наименьшее значение?

3-й этап. Осуществление плана решения.

Пусть I – общий расход денег в час; i1 – расход денег, связанный с потреблением топлива.

По условию i1=kV3, k – коэффициент пропорциональности, V – скорость.

Из условия i1=30:

30=k∙10³ ; k=0,03.

Общий расход денег

I=t∙(480+0,03V3).

Из курса физики известно, что при равномерном движении t= , S – путь.

I(V)= (480+0,03V3)=480∙ +0,03V², V>0.

Необходимо исследовать функцию I(V)= 480∙ +0,03V² на наименьшее значение.

1) найдем критические точки

I'(V)=- 480∙ +0,06V;

- 480∙ +0,06V=0;

V=20.

2) I'(V) не существует в точке V=0;

3) следовательно, V=20 – критическая точка функции I(V), так как V=0 не входит в область определения данной функции;

4) устанавливаем, что в точке V=20 функция имеет минимум.

4-й этап. Осмысление полученного результата, выводы.

Общий расход денег будет тем ближе к минимуму, чем ближе скорость к 20 узлам.

Ответ: 20 узлов.

Задача 2.

Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки берега А. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А. Лодка проплывает по 4км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села В в кратчайшее время?

А x C B

Методика работы с задачей.

1-й этап. 1-й этап. Понимание постановки задачи.

Учитель просит выделить условие и требование задачи.

2-й этап. Анализ условия и требования задачи проводятся с помощью системы вопросов учителя.

1. На каком расстоянии находится лодка от ближайшего пункта берега?

2. На каком расстоянии находятся села А и В друг от друга?

3. Известна ли вам скорость лодки?

4. Известно ли вам, к какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села В в кратчайшее время?

Установим, какие величины будут постоянными, а какие – переменными.

Постоянные величины: АО, АВ, Vл, Vп.

Переменные величины: АС, СВ, ОС.

Исследуемая величина – время, за которое этот путь проходят пассажир и лодка.

3-й этап. Осуществление плана решения.

Пусть x – расстояние АС, 0≤x≤5.

Из прямоугольного треугольника ОАС: ОС=S1= .

S2=5-x.

Пусть S1 проходит со скоростью V1=4 км/ч, а путь S2 – со скоростью V2=5 км/ч.

Время, за которое пассажир проходит путь S1, t1= .

Время, за которое лодка проплывает путь S2, t2= .

Время, затраченное на прохождение пути S1+ S2, t(x)= .

Необходимо исследовать функцию на наименьшее значение на отрезке [0;5].

1. t'(x)= ∙ - = .

2. Находим критические точки:

t'(x)=0;

5x - 4 =0;

16(x2+9)=25x2;

16 x2 - 25x2+144=0;

9 x2=144;

x1=4, x2=-4.

3. Сделаем первый вывод: x2=-4 не принадлежит промежутку [0;5].

4. Находим значение функции в точках x=0, x=4, x=5.

5. t(0)=1 , t(4)=1 , t(5)= .

Сделаем второй вывод: функция t(x) достигает наименьшего значения в точке x=4.

5-й этап. Критическое осмысление полученного результата: лодка должна пристать к пункту С, находящемуся на расстоянии 4 км от пункта А.

Задача 3.

Фирма «Каркас» получила заказ на изготовление резервуара емкостью 500 м³ с квадратным основанием, открытым сверху. Внутренняя поверхность резервуара покрывается оловом. Какими должны быть размеры резервуара, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество олова? (толщиной стенок можно пренебречь).

Методика работы с задачей.

1-й этап. Понимание постановки задачи.

Учитель просит выделить условие и требование задачи.

2-й этап. Анализ условия и требования задачи проводятся с помощью системы вопросов учителя.

1. Какие величины примем за неизвестные? Сколько будет неизвестных?

2. Какое уравнение можно составить, используя первое предложение задачи?

3. Каким выражением определяется общее количество олова, необходимое для изготовления резервуара?

Необходимо построить функцию, выражающую зависимость между размерами резервуара и площадью его внутренней поверхности, исследовать ее на наименьшее значение.

3-й этап. Осуществление плана решения.

В основании резервуара лежит квадрат. Пусть x – длина стороны основания резервуара, а y – его высота. Объем резервуара равен xy2, то есть xy2=500 и y= .

Общее количество олова, необходимое для изготовления резервуара, определяется выражением x2+4xy, то есть S(x)=x2+4xy, x>0.

Значит, S(x)=x2+4x∙ , S(x)=x2+ , x>0.

Исследуем функцию S(x)=x2+ на наименьшее значение.

Найдем производную:

S'(x)=(x2+ )'=2x - = .

Поэтому S'(x)=0 x3-1000=0 x=10, то есть функция S(x) при x>0 имеет единственную критическую точку x=10.

Если 010, то S'(x)>0. Значит, x=10 является точкой минимума. Так как функция S(x) имеет единственный экстремум на промежутке (0; +∞) и это минимум, то он и является наименьшим значением функции S(x) на промежутке (0; +∞), то есть Sнаим.=S(10).

Тогда высота резервуара равна y=5(м).

4-й этап. Критическое осмысление полученного результата: общий расход олова будет наименьшим, если размеры резервуара будут 10 метров, 10 метров и 5 метров.

Следующую задачу учащиеся решают самостоятельно. Задача отличается от предыдущей лишь наличием дополнительного условия.

Задача 4.

Стальной бак без верхней крышки должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и объемом 108 дм2. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество стали, если известно, что сторона основания не должна превышать 4 дм?

Решение.

1. Пусть x – длина стороны основания, y – высота бака в дм, тогда V=Sосн.•y=x2y, то есть x2y=108, отсюда y= . Поверхность бака состоит из квадратного основания и четырех боковых граней, то есть S= x2+4xy= x2+4• .

2. Найдем критические точки функции S= x2+4• , x>0.

S'(x)= 2x - = .

S'(x)=0 x3-2116=0 x=6.

3. Так как 0Выводы: решая задачи, которые возникают в различных областях человеческой деятельности, мы убедились в практической необходимости и теоретической значимости темы «Производная и ее применение». Мы оценили роль производной в исследовании процессов современного производства.

Использование производной для решения задач по экономической теории.

Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Задание 1.

Цементный завод производит X тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 тонн в день. Определить при каком объеме производства удельные затраты будут наименьшими, если функция затрат имеет вид: К=-x3+98x2+200x.

Решение.

Удельные затраты составят K/x=-x2+98x+200. Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y=-x2+98x+200 на промежутке [20;90].

Y'=-2x+98x, Y'=0 x=49.

x=49 – критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критической точке.

f(20)=1760, f(49)=2601, f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, что экономически невыгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности.

Задание 2. Предприятие производит X единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x-1000. Исследовать потенциал предприятия.

Решение.

Функция исследуется с помощью производной.

f(x)=-0,06x2+600.

f '(x)=0 x=100.

Так как f '(x)>0 при x<100 и f '(x)<0 при x>100, то x=100 – точка функция.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением производства до 100 единиц, при x=100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача нахождения множества значений функции.1

Все примеры объединены одним общим свойством: требуется найти множество значений непрерывной на отрезке функции.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса, непрерывная на отрезке [a;b] функция y=f(x) достигает своего наибольшего fmax и наименьшего fmin значений, и кроме того, в силу непрерывности принимает все значения между fmin и fmax. Отсюда следует, что множество значений E(f) непрерывной на отрезке [a;b] функции есть отрезок [fmin; fmax].

Таким образом, задача нахождения множества значений непрерывной на отрезке функции сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции.

Будем пользоваться следующей схемой:

1. Вычисляем значения функции f(a) и f(b) на концах отрезка [a;b].

2. Находим критические точки x1, x2, .xk функции f на интервале (a;b) и вычисляем значения f(xi) в этих точках.

3. fmin=min{f(a), f(b), f(x1). f(xk)}; fmax=max{ f(a), f(b), f(x1). f(xk)}.

Задание1.

Найдите множество значений функции y=3x+ .

Решение.

Проведем исследование этой функции.

1. D(y): 7-2x≥0, x≤3,5.

2. Найдем критические точки из области определения: y'=3 .

y'=0 в точке x=3 , входящей в область определения функции, значит, x=3 - критическая точка.

1Материал взят из [9].

3. При переходе через точку x=3 производная функции меняет знак с «плюса» на «минус», значит, точка x=3 - точка максимума.

y(3,5)=10,5.

4. Пересечение с осями: x=0, y≈2,6; y=0, x=-1.

5. Построим схематический график:

Видно, что E(y)=(-∞; 10 ].

Задание 2.

Найдите множество значений функции y=sinx - sin3x+ cos2x, x [0; ].

Решение.

1. D(y)= [0; ].

Приведем функцию y=sinx- sin3x+ cos2x к виду: y= sin³x+ cos2x.

2. y'= 3sin²x•cosx+ 2(-sin2x)=2sin2x•sinx-4 sin2x=2sin2x(sinx-2 )<0 → функция убывает.

3. y(0)= ; y( )= .

4. E(y)=( ; ).

Задание3.

Найдите множество значений функции y=2 .

Решение.

D(y)= [-1;4].

y'=2• >0, следовательно, функция возрастает.

y(-1)=2- ; y(4)=2 .

E(y)=[2- ;2 ].

Задание 4.

Найдите множество значений функции y=4x²-6x+5, x [-1;3].

Решение.

Заданная функция непрерывна на [-1;3], поэтому

а) y(-1)=15; y(3)=23.

б) y'=8x-6.

y'=0 при x= ; y( )= .

в) ymin=min{ ;15;23}= ;

ymax=max{ ;15;23}=23.

г) E(y)=[ ;23].

Задание5.

Найдите множество значений функции y=cos2nx+sin2nx, n N.

Решение.

Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Введем новую переменную t= cos2x. Ее множество значений при всех действительных значениях x есть отрезок [0;1]. В результате исходное задание можно переформулировать так: найти множество значений функции y=tn+(1-t)n, t [0;1].

y(t) определена и непрерывна на [0;1] и потому ее множество значений E(y)= [ ymin; ymax].

Найдем ymin и ymax:

а) y(0)=1; y(1)=1;

б) y'(t)=ntn-1-n(1-t)n-1, y'=0 при t= .

y( )= .

в) ymin=min{ ;1}= ;

ymax=max{ ;1}=1.

E(y)=[ ;1].

Задание 6.

Найдите множество значений функции y= .

Решение.

После преобразования правой части, получим y= .

Обозначим t= , t>0 в силу свойств показательной функции.

y(t)= , t>0.

Функция y(t) – дробно-линейная, убывающая на каждом из промежутков непрерывности, и на (0;+∞) в частности. При бесконечном увеличении t значение y стремится к 1, а при приближении t к 0 значение y стремится к y(0)=5.

Таким образом, множество значений функции – промежуток (0;5).

Применение производной для решения уравнений и неравенств.1

Решение уравнений и неравенств с помощью производной чаще всего основано на применении теорем Больцано-Коши и Лагранжа.

Теорема Больцано-Коши.

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке E=[a;b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Если функция на этом отрезке непрерывная, то c E, aГеометрический смысл теоремы.

Данная теорема геометрически означает, что график функции пересекает ось Ox, то есть уравнение f(x)=0 имеет решение. С помощью этой теоремы легко выясняется вопрос о количестве решений уравнения на отрезке.

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка этого отрезка, такая, что .

Задание1.

Решить уравнение ctgx=ectg2x на промежутке (0; ).

Решение.

Прологарифмировав данное уравнение и обозначив ctgx=t, получим уравнение: 2lnt=t-t-1, t - -2lnt=0.

Рассмотрим функцию f(t)= t - -2lnt (t>0).

f '(t)= ≥0, значит, функция f(t) возрастает на всей области определения, и поскольку f(1)=0, то ctgx=1 и x= - искомое решение.

1Материал взят из [4], [13].

Задание2.

Сколько корней имеет уравнение x-3=2cos ?

Решение.

x-3-2cos =0;

f(x)= x-3-2cos ;

f '(x)=1+sin ≥0 при R. Следовательно, функция f(x) возрастает на R. Заметив, что f(0)<0, f(6)>0, делаем вывод, что уравнение имеет единственный корень.

Задание3.

Решить уравнение .

Решение.

Областью определения данного уравнения является промежуток [6;+∞). Пусть f(x)= x-6 (x≥6);

f '(x)= .

При x≥6, f '(x)>0, и функция f(x) возрастает. Функция же g(x)= убывает на R. Исходное уравнение может иметь не более одного корня. X=6 – искомый корень.

Задание4.

Решить уравнение .

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f(x)= . Заметим, что D(f)=[1;2] и f '(x)= ;

f '(x)=0 при x=1,5 – критическая точка, принадлежащая интервалу (1;2). Имеем далее, что f(1)=f(2)=1;

f(1,5)=2 = .

Итак, область значений функции f(x) есть отрезок [1; ], поскольку f(x) непрерывна на отрезке [1;2].

Для правой части уравнения имеем оценку ≥ .

Получаем систему уравнений:

Обоим уравнениям удовлетворяет корень x=1,5.

Задание5.

Решить уравнение x5-10x3+50x-41=0.

Решение.

Легко заметить, что число x1=1 является корнем данного уравнения. Предположим, что существует еще хотя бы один действительный корень x2, отличный от x1. Числа x1 и x2 являются нулями функции f(x)= x5-10x3+50x-41 и, следовательно, f(x1)=f(x2)=0. Применим теорему Лагранжа к функции f(x) на отрезке [x1;x2], если x1>x2. Согласно ей, найдется такая внутренняя точка c этого отрезка, что будет выполнятся . Учитывая, что f(x1)=f(x2)=0, получим , то есть число c - корень уравнения f '(x)=0. Но производная f '(x)=5x4+30x2+50 положительна для любого x, а значит, уравнение f '(x)=0 не имеет корней. Полученное противоречие доказывает, что найденный корень x1=1 является единственным.

Задание 6.

Решить уравнение .

Решение.

Область определения уравнения – промежуток (-∞;0].

Введем функции f(x)= и .

f(x)= .

f '(x)= <0 при x<0, и функция f убывает на (-∞;0]. Функция g(x) возрастает на (-∞;0]. Уравнение не может иметь более одного корня. Замечаем, что x=-1 – искомый корень.

Задание 7.

Решить уравнение .

Решение.

Область определения – [ ;+∞). Перепишем уравнение в виде . Левая часть – возрастающая на R функция. Найдем производную функции правой части: f '(x)=- <0, что означает ее убывание на луче [ ;+∞). Уравнение, если имеет корень, то он единственный. Видим, что это x=6.

Задание 8.

Сколько положительных корней имеет уравнение 12x5+6x4-4x3-x-34=0?

Решение.

Левая часть уравнения при x=0 отрицательна, а при x=2 – положительна. Значит, уравнение между числами 0 и 2 имеет корень. Перепишем уравнение в виде 12x2+6=4+ . Левая часть здесь при x>0 возрастает, а правая часть при этих значениях x убывает, а поэтому это уравнение имеет единственный положительный корень.