«Обучающая программа по «численным методам в физике»»

Цель работы – изучить использование численных методов в разработке физических задач для подготовки обучающего курса.

Теоретическое направление основывается на построении и аналитическом изучении математических моделей – «эквивалентов» физических объектов, отражающих в математической форме важнейшие их свойства.

В основе вычислительного направления научного познания лежит вычислительный эксперимент. Суть вычислительного эксперимента можно показать с помощью триедиства «модель – алгоритм – программа». Для проведения вычислительного эксперимента необходимо наметить определенный план действий, который условно можно разбить на три этапа.

На первом этапе строится (или выбирается) математическая модель объекта, после чего она исследуется теоретическими методами. В процессе теоретического исследования модели находят предельные, асимптотические решения, позволяющие получить существенные предварительные сведения об объекте.

Второй этап – разработка (или выбор) алгоритма для осуществления модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, обусловливается последовательность логических и вычислительных операций, которые нужно провести, чтобы получить решение с заданной точностью.

На последнем – третьем этапе создаются компьютерные программы, позволяющие перевести модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Иначе говоря, «электронный» эквивалент изучаемого объекта, уже пригодный для непосредственного испытания на виртуальной «экспериментальной установке» – компьютере.

Разработав триаду «модель – алгоритм – программа», экспериментатор получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале необходимо отладить на решении тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение. После того, как достаточное соответствие триады исходному объекту подтверждено, с моделью проводятся разнообразные детальные «опыты», которые дают требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. По мере необходимости процесс моделирования может сопровождаться улучшением и уточнением всех звеньев триады.

Для исследования многих природных явлений вычислительный эксперимент является единственным средством получения научного знания в связи с принципиальной невозможностью осуществления натурного эксперимента либо из-за масштабов явления, либо из-за невозможности создать необходимые физические условия. Примерами могут служить крупномасштабные экологические эксперименты, направленные на изучение глобальных климатических изменений при воздействии различных факторов, в том числе, последствий ядерных взрывов; исследования эволюции галактик, а также изучение взаимодействия элементарных частиц сверхвысоких энергий.

Математическое моделирование. Любое явление природы беспредельно в своей сложности. Чтобы изобразить явление, необходимо выявить самые важнейшие свойства, внутренние связи, закономерности, значение некоторых характеристик. Выделив наиболее значительные факторы, влияющие на происходящие процессы, можно проигнорировать остальными – менее существенными. Акцентируя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь изображает их путем математических соотношений, составляющих математическую модель этого объекта. Математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению, т.е. достаточно точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления – это основное требование, которое предъявляется к математической модели. К тому же она должна обладать сравнительной простотой и доступностью изыскания.

В качестве примера приведем построение математической модели, которая описывает движение камня, падающего вниз с некоторой заданной высоты с начальной скоростью . Так как движение камня происходит в атмосфере (вязкой среде), при падении ему приходится преодолевать сопротивление воздуха. Необходимо определить, насколько возможно пренебречь силой сопротивления воздуха? Это зависит от многих факторов:

- от средней плотности камня, его линейных размеров

- с какой высоты происходит падение.

Так, например, если плотность камня существенно больше плотности воздуха, размеры камня, начальная высота и скорость малы, то сопротивление воздуха незначительно сказывается на скорости падения камня. В этом случае можно рассматривать свободное падение камня с ускорением g. Соответствующие соотношения для высоты и скорости хорошо известны:

Эти формулы являются математической моделью свободного падения тела (и, в данном случае, они же являются решением задачи).

Если же падение камня происходит с достаточно большой высоты, то в процессе движения он может развить большую скорость и сила сопротивления воздуха (которая, в случае вязкого трения, пропорциональна скорости) может стать существенной. Аналогично, при рассмотрении движения в атмосфере тел малой плотности, падения капли, спуска на парашюте нельзя пренебрегать силой сопротивления воздуха. В этих случаях модель свободного падения тела уже не может быть использована, поскольку при ее применении мы получили бы неверный результат. Следовательно, здесь нужно построить более точную математическую модель, учитывающую сопротивления воздуха. Если обозначить через F(t) силу сопротивления, действующую на тело массой m, то его движение можно описать с помощью следующих уравнений движения

К этой системе необходимо добавить начальные условия при t=0:

В совокупности с начальными условиями (и другими известными исходными данными) указанные уравнения образуют математическую модель движения тел в атмосфере.

Являясь мощным инструментом познания мира, математические модели, могут претерпевать значительные трансформации в ходе уточнений наших знаний об окружающем мире.

Одним из ярких примеров такого рода моделей является Солнечная система. Еще в II веке нашей эры древнегреческий ученый Птолемей разработал геоцентрическую модель, в которой предполагалось, что все планеты и Солнце в том числе вращаются вокруг неподвижной Земли. Пользуясь этой теорией, уже можно было составить алгоритмы вычисления положения небесных тел. Теория была очень сложна и все усложнялась, чтобы быть лучше согласованной с результатами наблюдений. Только в 1543 г. Коперник сделал большой шаг вперед, предложив гелиоцентрическую модель предполагая, что планеты движутся вокруг Солнца по окружностям (эпициклам). Данная модель дала возможность более точно рассчитывать движение планет и объяснять множество непонятных ранее астрономических явлений (например, такие как петлеобразное движение планет на небосводе). Тем не менее и Коперник, и Птолемей не могли выйти за рамки механики Аристотеля, признававшей только простое движение, т.е. по прямой и по окружности, что очень сильно сковывало теорию Коперника.

Следующий шаг в развитии модели Солнечной системы связан с именем Кеплера (начало XVII в.), сформулировавшего на основе данных наблюдений три закона движения планет. И, наконец, Ньютон (вторая половина XVII в.) предложил динамическую модель Солнечно системы, основанную на законе всемирного тяготения. Модель стала настолько совершенной, что в 1845 г. английский астроном и математик Джон Адамс и французский астроном Урбан Леверье (в 1846 г.) независимо вычислили местоположение, орбиту и массу новой планеты (Нептун). Они исходили из того, что в движении планеты Уран были замечены некоторые противоречия, которые бы снимались, если бы в определенном месте была бы другая планета. Это очевидно является «научным подвигом» навсегда вошедшим в историю науки, ведь все расчеты выполнялись вручную. Адамс даже сконструировал новый метод численного решения дифференциальных уравнений, за которым закрепилось его имя. В 1846 г. немецким астрономом Галле планета была обнаружена. Позднее, в 1930 г. аналогичным образом была открыта планета Плутон. Эти планеты, как говорят, были открыты на кончике пера, т.е. теоретически.

Численные методы. С помощью математического моделирования решение научной задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются две основные группы методов: аналитические и численные.

Аналитические методы позволяют получить решение задачи в виде формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математического анализа приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко. Например, если задача свелась к решению уравнения с одной переменной:

то при всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается. Аналогичные проблемы возникают также и при решении других математических задач. В частности, подавляющая часть нелинейных дифференциальных уравнений не решаются аналитическими способами; при вычислении определенных интегралов также часто не удается выразить первообразную через элементарные функции; нахождение решений систем линейных алгебраических уравнений больших размерностей прямыми методами может приводить к нереальным затратам времени даже при использовании вычислительной техники.

Для решения таких задач разрабатываются и применяются методы приближенных вычислений или численные методы, позволяющие свести решение математической задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами.

Отметим основные отличия численных методов от аналитических. Нередко в литературе делается акцент на то, что численные методы способны дать лишь приближенное решение задачи в отличие от аналитических методов, позволяющих найти точное решение. Однако это различие не столь принципиально, если решение задачи должно быть доведено до числа, что, собственно, и имеет место в прикладных задачах. Если теоретически доказано, что приближенный метод при определенных условиях сходится к точному решению, то с его помощью это решение может быть получено с любой требуемой точностью.

Более важным отличием и преимуществом аналитических методов перед численными является то, что они позволяют получить общее решение задачи в виде формулы, по которой можно изучать качественные особенности решения, например, его предельное, асимптотическое поведение, а также исследовать влияние начальных условий и параметров задачи на характер решения. Численные методы позволяют найти только частное решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных.

Поясним это отличие на примере. По формулам (0.1) (по аналитическому решению) можно проанализировать, как изменится закон движения камня при изменении параметра g и начальных значений v0 и h0. Если в модели (1.2) выражение для F(t) имеет простой вид (например, F=const), то можно получить аналитическое решение, аналогично (1.1). Это решение тоже можно легко исследовать на предмет зависимости от изменения параметров и начальных условий. Если же выражение для F(t) достаточно сложно, то задачу (1.2) можно решить только численно. При этом вместо общей формулы для h(t) и v(t) в результате численного решения будут получены значения v и h для некоторого набора моментов времени t при конкретных значениях g, m, h0 и v0. Для получения решения при других значениях параметров или других начальных условиях, нужно будет провести новый расчет. Для анализа зависимости решения от параметров и начальных условий потребуется проведение целой серии расчетов. Таким образом, численное решение задачи и изучение свойств этого решения связанно с проведением немалого объема вычислительной работы, что может быть возможным лишь при использовании вычислительной техники.

Разработка численных методов и алгоритмов приближенного решения типовых математических задач с использованием вычислительной техники составляет предмет вычислительной математики – одного из современных и развивающихся разделов математики.

Из истории развития численных методов. История возникновения и развития численных методов неразрывно связана с историей математики в целом, историей других фундаментальных наук, таких как физика и астрономия, а также теснейшим образом связана с историей развития вычислительной техники.

На этапе своего возникновения и начального развития вплоть до середины XVI века математика оперировала исключительно числами. В то время, разумеется, не существовало и не могло существовать различия между численными и аналитическими методами.

Математики XVI и начала XVII веков испытывали огромные трудности вычислительно-практического характера. Прежде всего эти трудности концентрировались вокруг задачи составления таблиц тригонометрических функций и связанной с этим задачей определения значения числа . Над вычислениями таблиц тригонометрических функций работали Коперник, Кеплер и их ученики и сотрудники. Другой задачей являлось отыскание простых и надежных алгоритмов численного определения корней уравнений с данными числовыми коэффициентами.

В начале XVII были изобретены логарифмы. Усилиями энтузиастов математики И. Бюрги (1620) и Дж. Непер (1614) были составлены таблицы логарифмов, которые очень быстро, в течение менее чем столетия, распространились по всему миру и сделались незаменимым вспомогательным инструментом при вычислениях. В России регулярные издания таблиц логарифмов датируются с 1703 г., когда появились таблицы Влакка.

Неотъемлемой частью вычислений с использованием таблиц тригонометрических функций и логарифмов становится интерполяция, позволяющая сгущать таблицы.

Ученые-математики XVII века искали также и другие пути преодоления вычислительных трудностей. В разных городах Европы стали появляться счетные машины. По-видимому, самой ранней машиной была машина немецкого профессора Вильгельма Шиккарда (1623), преподававшего в г. Тюбингене математику и астрономию. Сведения об этой машине появились только в 1958 г. Ее схема и объяснения к этой схеме были обнаружены в архиве Кеплера, а затем в архивах библиотеки Штутгарта. Машина Шиккарда состояла их трех частей: суммирующее устройство, множительное устройство и механизм для записи промежуточных результатов. В 1642 г. появляется арифмометр Блеза Паскаля, который позднее (1673-1674) был усовершенствован Лейбницем. Однако счетные устройства еще долгое время были несовершенны и не имели широкого распространения вплоть до 1874 г., когда инженер Вильгодт Однер (Петербург) изобрел специальное устройство – колесо Однера, употреблявшееся в простейших вычислительных машинах до конца XX века.

К концу XVII века складывается символьный язык алгебры и создается, а затем систематически используется, развивается и совершенствуется аппарат дифференциального и интегрального исчисления. В это время физика обретает свой «естественны» язык, на котором формулируются фундаментальные законы природы (как правило в виде систем дифференциальных уравнений), выводятся из них следствия, допускающие экспериментальную проверку, решаются задачи, имеющие как фундаментальное, так и прикладное значение.

Однако сами создатели математического анализа – Ньютон, Лейбниц и их последователи столкнулись с ограничениями в области применения аналитических методов к решению ряда фундаментальных и прикладных задач. В частности, многие дифференциальные уравнения, важные для практики, не решались в квадратурах, т.е. не интегрировались аналитически. Попытки выразить аналитически корни алгебраических уравнений выше четвертой степени также оставались безуспешными. Поэтому параллельно с развитием аналитических методов математики разрабатывают методы приближенных вычислений для решения неотложных прикладных задач.

В 1669 г. Ньютон предложил метод касательных для приближенного решения алгебраических уравнений, а в 1676 г. – способ приближенного вычисления определенных интегралов, который был затем развит в работах Роджера Котеса. В 1743 году математик самоучка Томас Симпсон опубликовал формулу для приближенного вычисления определенных интегралов, носящую ныне его имя. В 1768 г. Леонард Эйлер разработал метод численного решения дифференциальных уравнений. Однако все эти методы требовали огромного количества вычислений и были практически «неподъемны» для ручного счета.

Уже в начале XIX века уровень развития ряда наук и областей практической деятельности (физики, астрономии, механики, инженерных науках, баллистики) был настолько высок, что они требовали выполнения огромного количества вычислений, выходящих за пределы возможностей человека, не вооруженного соответствующей техникой.

Видимо, насущная необходимость решения такого рода проблем и побудила «взяться за дело» английского математика и инженера Чарльза Бебиджа. В 1822 году он спроектировал (и почти 30 лет строил) «разностную» или «аналитическую» машину. Работа так и не была завершена, но в конструкцию машины были заложены принципы, ставшие фундаментальными для вычислительной техники: автоматическое выполнение операций; работа по заранее составленной программе, необходимость специального устройства – памяти. Революционные идеи натолкнулись на невозможность их реализации на основе механической техники. Они настолько опередили свое время, что были в значительной мере забыты и «открыты» заново в следующем столетии.

Между тем, в 1845 г. английский астроном и математик Джон Адамс, занимаясь расчетом орбиты планеты Нептун, разработал численный метод решения дифференциальных уравнений, отличающийся от метода Эйлера более высокой точностью и экономичностью. При этом все расчеты были проведены им вручную.

Однако в большинстве случаев исследователи стремились избегать больших вычислений. Сложные математические модели, для которых не удавалось получить ответ в виде формул, либо вообще не рассматривались, либо упрощались с помощью дополнительных предположений.

К началу XX века многие, важные в практическом отношении, задачи «не решались», хотя и были построены соответствующие математические модели, и был принципиально ясен путь их решения. Скопилось столько неотложных проблем, что большое внимание стали уделять разработке эффективных вычислительных схем и в крайних случаях проводили вычисления вручную.

В 1885 г. немецкий физик и математик Карл Рунге высказал основную идею метода численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в 1901 г. развил и усовершенствовал Вильгельм Кутта. На этой основе была разработана целая серия вычислительных методов («методы Рунге-Кутта») различной степени точности.

В 1910 г. английский геофизики Льюис Ричардсон представил в Английское Королевское общество пятидесятистраничную статью, посвященною численному анализу дифференциальных уравнений в частных производных. Ричардсон разработал итерационные методы решения уравнения Лапласа, бигармонического уравнения и ряда других уравнений, а также предложил проверять численные решения сравнением с точным решением «модельных» задач. Наконец, он впервые применил численные методы к такой практической задаче большого масштаба, как определение напряжений в каменной дамбе.

В 1911 г. академик А. Н. Крылов, занимаясь расчетами математических моделей в теории устойчивости конструкций кораблей, выпустил первый в мировой научной литературе курс по численным методам «Лекции о приближенных вычислениях».

В 1928 г. появилась основополагающая работа Куранта, Фридрихса и Леви, посвященная численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. Авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений как инструмента в чистой математике. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решение дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности решений для эллиптических, гиперболических и параболических дифференциальных уравнений. В этой работе было также получено и объяснено знаменитое необходимое условие устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви, которое в современной терминологии гласит, что число Куранта должно быть меньше единицы.