«Нахождение линейных законов сохранения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом компьютерной алгебры»

Подавляющее большинство дифференциальных уравнений не может быть проинтегрировано в замкнутой форме. Поэтому при исследовании дифференциальных моделей реальных явлений и процессов приходится изыскивать методы, которые позволяли бы получать необходимую информацию, исходя из свойств самого дифференциального уравнения.

Задана система обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

в области D(x,y1,.,yn) так, что через каждую точку области D проходит и притом только одно решение.

Исследование системы (1) упрощается, если известно некоторое количество первых интегралов системы, то есть соотношений вида

определенных в D, и таких, что при каждой системе постоянных из некоторой области С равенства

(3)

определяют решение, проходящее через соответствующую точку области D. Систему таких функций gk будем называть общим интегралом системы уравнений (1) в области D. Каждая из функций системы (2) называется первым интегралом системы (1).

В литературе по обыкновенным дифференциальным уравнениям, вообще говоря, нет каких-либо методов нахождения первых интегралов. Основные результаты [8] относятся к исследованию свойств первых интегралов.

В работе рассмотрены некоторые методы нахождения линейных первых интегралов для систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

Линейные законы сохранения- это первые интегралы представляющие собой линейные функции относительно переменных системы. Для нахождения линейных первых интегралов будем использовать алгебраический подход основанный на построении для заданной системы базисов Гребнера реализованный как пакет программ в системе MAPLE.

В литературе [3],[8] приняты следующие два определения первых интегралов:

Определение 1: Первым интегралом системы (1.1) называется соотношения, полученные разрешением уравнений, дающих общее решение системы, относительно произвольных постоянных.

Определение 2: Первым интегралом системы называется соотношение, не тождественно равное постоянному, содержащие в левой части независимое переменное и искомые функции, и принимающие постоянные значения, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (1.1)

Свойства функций

I. — постоянные вдоль всякого решения (так как всякое решение определяется системой (1.3) при некоторых Сn).

II. Если дифференцируемы, то в силу (1.1), т, е.

или так как

(1.4)

Действительно, вдоль всякого решения щ - постоянные, поэтому вдоль всякого решения , откуда и следует утверждение, так как вдоль всякого решения .

III Если имеем систему функций (1.2), определенных в области

равен n, например,

(1.5)

и в силу (1.1), то (1.2)-общий интеграл.

Действительно, по известной теореме о неявных функций из (1.3) в силу (1.5)

имеем

(1,5’)

и вдоль этой кривой функции (1.2) постоянны, поэтому

откуда найдем

(1.6).

Так как в силу (1.1) (то есть, имеем (1.4)), то

(1.7).

Отсюда в силу (1.5) имеем

(1.8)

Равенства (1.6) имеем вдоль всякого решения (1.5\') системы (1.3), а (1.7) и тем самым (1.8) тождественно, следовательно, и вдоль рассматриваемых решений (1.5\'). Так как правые части равенств (1.6) и (1.8) равны, то равны и левые части:

,

а это и есть система (1.1).

Другими словами, всякое решение системы (1.3) есть решение системы (1.1) Теорема 7. Если —дифференцируемая функция и в силу (1.1), то —постоянная вдоль решений, т. е. является интегралом.

Доказательство

Подставим решение системы (1.1) в , тогда

так как в силу (1.1). . Следовательно, вдоль всякого решения и постоянна

Иногда интегралом называют не функцию , а равенство , где — произвольная постоянная из области тех значений , которые она принимает в области D.

Определение: Функции называются зависимыми, если имеется функциональная связь

(1.9),

где не зависит от . Если же нет такой функции, то называются независимыми.

Если зависимые, то, исключая какие-нибудь переменных из равенств мы и получаем (1.9).

Если при этом получается соотношение между содержащее еще и какие-нибудь из переменных , то независимыми. Если первые интегралы

(1.10)

составляют общий интеграл, т. е. из (1.10) можно найти

(1.11)

при произвольных из некоторой области , то независимые, т. е. нет

Теорема 2. Если интегралы (1.10) независимы, т. е. можно найти функции (1.11), то всякий другой интеграл есть функция .

Доказательство Действительно, вдоль решения все интегралы постоянны. Подставим в функции (1.11). Тогда получим . Так как вдоль решения постоянная, то сюда не входит , и мы имеем . Так как начальные значения можно взять произвольными, то произвольные, а . (1.12)

Наоборот, если - интегралы, то и (1.12) —интеграл при произвольной функции. Действительно, вдоль решения постоянные, а тогда постоянным вдоль решения будет и .

Теорема 3: Если известен один дифференцируемый интеграл системы (1.1)

(1.13),

то порядок системы (1.1) можно понизить на единицу (т. е., можно интегрирование системы (1.1) свести к интегрированию системы уравнений).

Доказательство.

Вдоль решения все интегралы постоянны, поэтому связаны равенством (1.13) на каждом решении при некоторой постоянной с. Пусть из (1.13) имеем единственное

(1.14)

Тогда, подставляя это в правые части первых уравнений (1.1), получаем

(1.15).

Отсюда найдем

, (1.16)

а тогда из (1.14) получим

(1.17)

Покажем, что (1.16) и (1.17) составляют общее решение системы (1.1).

Действительно, (1.16) и (1.17) удовлетворяют первым уравнениям системы (1.1) и (1.14), так как из этих уравнений они и получены. Покажем, что (1.16) и (1.17) удовлетворяют и последнему уравнению системы (1.1). По определению интеграла, из (1.13) имеем

(1.18)

Так как (1.14) получено из (1.13), то равенство, найденное из (1.14):

(1.19)

равносильно равенству (1.18). Здесь в (1.19) -правые части уравнений (1.2) или получены из (1.16), что одно и то же. Функции (1.16) и (1.17) удовлетворяют равенству

откуда и следует, что функции (1.16) и (1.17) удовлетворяют последнему уравнению (1.1).

Теорема 4: Если имеем k независимых интегралов системы (1.1)

(1.20)

то интегрирование системы (1.1) сведется к интегрированию системы дифференциальных уравнений

Доказательство Так как независимы, то из равенств(1.20) можно найти, например:

(1.21)

Предположим, что интегралы (1.20) непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию:

(1.22)

Равенства (1.20) определяют единственные значения (1.21) величин Подставляя значения (1.21) в последние (n—k) уравнений системы (1.1), получаем уравнения

(1.23)

Отсюда найдем

(1.24)

На основании этих равенств из (1.21) получим

(1.25)

Равенства (1.24) и (1.25) составляют общее решение системы (1.1). Функции (1.24) и (1.25) удовлетворяют тождественно (n—k) последним уравнениям (1.1) и уравнениям (1.21) или (1.20), так как из этих равенств они и получены. Но они удовлетворяют и первым k уравнениям системы (1.1). В самом деле, из уравнений. (1.20) по определению интегралов имеем

(1.26)

т. е. этим уравнениям удовлетворяют тождественно. Но эти значения удовлетворяют тождественно и равенствам

так как значения (1.21) величин получены из (1.20) и имеют единственное значение в силу (1.22). Функции (1.24) и (1.25) тождественно удовлетворяют последним (n—k) уравнениям системы (1.1) и (1.21), поэтому они удовлетворяют и уравнениям (1.27), т. е. имеем

,

что и требовалось доказать.

Теорема 5: Для того чтобы функция была интегралом необходимо и достаточно выполнения условия

Для нахождения первых интегралов обычно используется метод нахождения интегрируемых комбинаций. Он состоит в следующем:

Дана система дифференциальных уравнений (1.1) с помощью подходящих арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) из уравнений системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, то есть достаточно просто решаемые уравнения вида: , где g – некоторая функция от искомых функций: . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл.

Глава 2 Базис Гребнера

2.1 Общие понятия базисов Гребнера

Задачи связанные с идеалами, порождаемыми конечными множествами F полиномов от многих переменных, возникают в качестве математических подзадач в различных областях теории систем.

Метод базисов Гребнера представляет собой технику, которая дает алгоритмические решения для множества таких задач, например, нахождение точных решений F рассматриваемой как система алгебраических уравнений; проверка различных свойств идеала порожденного F.

Метод базисов Гребнера в качестве своей основной цели представляет решение задачи упрощения для полиномиальных идеалов.

Базис Гребнера для заданной системы полиномов Ф представляет собой систему образующих идеала J порожденного множеством Ф

К -некоторое поле

К[х1,.,хn]-кольцо полиномов от n переменных над K

Будут использоваться следующие типы переменных:

f, g, h, k, p, q- полиномы из К[х1,.,хn]

F, G -конечные подмножества в К[х1,.,хn]

s,f, u -произведение степеней вида

а, Ь, с, d- элементы поля К

i, j, l, m-натуральные числа

Пусть F={i1, .,fn} обозначение Ideal(F) ,будем использовать для идеала порожденного F

Определение: Идеал, порожденный семейством образующих, состоит из множества линейных комбинаций этих образующих с полиномиальными коэффициентами, то есть

Ideal(F) = .

У одного и того же идеала существует несколько систем образующих. Понятие \"простоты\" системы образующих зависит от порядка на мономах в полиномах. (Моном-произведение степеней переменных).

Мы можем считать, что главная переменная (стоящая ранее всех остальных в нашем порядке) должна определять порядок настолько, насколько это возможно и что нам следует рассматривать степени других переменных только в том случае, когда степени первой переменной равны. Эта система называется лексикографической.

Пусть задано линейное упорядочение, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. l<Tt, для всех l

2. если s<Tt то <

Относительно <T используем следующие обозначения:

c,f(g,t)-коэффициент при t в g

lpp(f)- старшее (относительно <T) произведение степеней, входящее в f с ненулевым коэффициентом

lс(f)-коэффициент при произведении lpp(f) в f

Определение: Полином g редуцируется к h по модулю F (обозначается g ->Fh) если найдутся такие f F,b,u , что выполнено g—>f,b,u, и, кроме того h = g - buf; полином g редуцируется с помощью f,b, и (обозначается g —>f,b,u, если cf(g, u* lpp(f)) 0 и, кроме того b= cf(g,u • lpp(f))/ lc(f)

Редукция полинома g к полиному h означает, что h получается из g вычитанием подходящего произведения buf, при этом старший моном полинома buf совпадает с некотором мономом g, то есть редукцию можно рассматривать как один шаг обобщенного деления

Определение: Полином f вполне редуцирован относительно G , если ни один моном полинома f не делится ни на один старший моном элемента множества G.