«Методика исследования асимптотических разложений решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка»

Постановка задачи. В данной выпускной квалификационной работе исследуется дифференциальное уравнение второго порядка:

(t) – t – µ =0, (1)

Требуется найти решение уравнения (1) удовлетворяющие условиям

(0) = 1, u 0 при t +∞. (2)

Понятия асимптотические разложения функции и асимптотический ряд были введены А. Пуанкаре в связи с задачами небесной механики. Частные случаи асимптотических разложений применялись еще в 18 в. Асимптотические разложения и ряды играют большую роль в различных задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что многие задачи нельзя решить точно, но удается получить асимптотическое разложения решений. Кроме того, численные методы часто отказывают именно в тех случаях, когда асимптотические разложения удается сравнительно просто найти.

Асимптотические разложения заданных и искомых функций широко распространены при применении аналитических методов построения решения. Обычно это — разложения по целым положительным или отрицательным степеням независимой переменной либо параметра, входящего в уравнение. Такие разложения используются как для вычисления значений решения, так и для исследования его поведения.

Каждое из них у = у(х) определено, вообще говоря, на некотором своем интервале а < < b. Конечно, для любого х из этого интервала точка

( Ω

Нередко на решение, которое ищут, накладывают дополнительные условия. Особый интерес представляют такие условия, которые гарантируют единственное решение уравнения. Обычно эти условия имеют вид

(2)

и называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (2), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения условия (2) означают, что из семейства интегральных кривых, проходящих через точку ( , мы

выделяем определенную интегральную кривую, имеющую заданный угол наклона

В уравнение (1) могут не входить явно все переменные х, у, но у" должно входить, иначе это уравнение не будет дифференциальным уравнением второго

порядка, например,

х2 + + = 0, + 1 = 0.

Разрешим уравнение (1) относительно у". Будем предполагать это возможным. Из теории неявных функций известно, что если функция F(u, v, w, g) равна нулю в некоторой точке (и0, v0, w0, g0) имеет непрерывные частные производные в окрестности этой точки и частная производная этой точке, то уравнение F (u, v, w,g) = 0 имеет в некоторой окрестности указанной точки решение g = f (u, v, w) и притом единственное.

Тогда уравнение (1) примет вид

, (3)

где функция f (u, v, w) задана на некоторой области Ω трехмерного пространства точек (и, v, w), непрерывна на ней и имеет непрерывные частные производные. Функция f может и не зависеть явно от некоторых из переменных x, у, у'. Например, это имеет место для уравнений

.

Пусть некоторая интегральная кривая у = у(х) проходит через точку ( ) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный

заданному числу (т.е. ).

Этим однозначно определяется вторая производная от у(х) в точке , равная

(

Однако возникает вопрос, если мы зададим х = х0 и произвольные числа , то существует ли на самом деле интегральная кривая у =у(х)

уравнения (3), для которой у(х0) = , у'(хо) = , и как много таких интегральных кривых. Следующая теорема показывает, что если функция f в окрестности точки ( , ,) достаточно гладкая, то такая интегральная кривая существует и притом одна [3].

Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (3), рассматриваемая как функция трех переменных (х, у, у'), заданная на трехмерной области

ω, непрерывна и имеет на этой области непрерывные частные

производные

, .

Тогда, какова бы ни была точка ∊ ω, существует интервал (а, b) и определенная на нем дважды непрерывно дифференцируемая функция у = у(х), удовлетворяющая дифференциальному

уравнению (3) и начальным условиям у(х0) = , у'(хо) = ,

Функция, обладающая указанными свойствами, единственная.

Про функцию у(х) говорят, что она есть решение (интегральная кривая) дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям (2). Или еще говорят, что она решает задачу Коши для указанных начальных условий.

Каждое такое решение удобно записывать в виде у(х)=у ,

где - параметры решения. Они независимы - их можно взять какими угодно, лишь бы точка ∊ ω.

Если зафиксировать х0, то каждой системе чисел ∊ ω, соответствует решение дифференциального уравнения

(3), которое можно записать (при фиксированном х0) в виде

у = у

где - произвольные постоянные - параметры [3].

1.2. Определения и свойства асимптотических рядов

Введем понятие асимптотического ряда. Рассмотрим некоторый ряд при

Определение 1.1. Пусть функция определена при всех достаточно больших . Будем говорить, что для функции справедливо асимптотическое представление при , если для этих

= ,

где каждый последующий член суммы по порядку меньше предыдущего, т.е.

Это определение весьма общее, и во многих задачах удобнее

конкретизировать вид функций .

И дадим определения асимптотического разложения по степеням

аргумента .

Определение 1.2. Пусть функция определена при для некоторого положительного А. Ряд

(1)

называется асимптотическим рядом функции при , если

для любого натурального и любого справедливо неравенство

(2)

где — некоторая положительная постоянная, вообще говоря зависящая от .

В случае выполнения неравенств (2) говорят также, что функция разлагается в асимптотический ряд (1) при , что записывается в виде

,

Определение 1.3. Пусть функция определена при для некоторого . Ряд

(3)

называется асимптотическим рядом функции при , если

для любого натурального и любого справедливо неравенство

(4)

где — некоторая положительная постоянная, вообще говоря

зависящая от .

В случае выполнения неравенств (4) говорят также, что функция разлагается в асимптотический ряд (3) при , что записывается в виде

, .

Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности нуля, то она разлагается в асимптотический ряд по степеням при . Это немедленно вытекает из известной формулы

0 𝛳

и из определения асимптотического ряда.

В частности, если функция аналитична в окрестности нуля, то она по определению разлагается в сходящийся степенной ряд

который одновременно является и асимптотическим [6].

Для асимптотических рядов справедливы свойства, аналогичные свойствам сходящихся рядов [6].

Теорема 2.1. Пусть последовательность функций является калибровочной системой при и

. .

Тогда линейная комбинация также разлагается в асимптотический ряд при .

Теорема 2.2. Пусть функции и разлагаются в асимптотические ряды при :

.

Тогда функция также разлагается в асимптотический ряд при

где коэффициенты ck вычисляются так же, как и при умножении многочленов, путем формального перемножения асимптотических

рядов:

Теорема 2.3. Пусть функции и разлагаются в асимптотические ряды, при

.

и

Тогда функция также разлагается в асимптотический ряд

при

где - некоторые постоянные.

Условие для функций , разлагающихся в асимптотический ряд вида

эквивалентно условию: функция , непрерывна в нуле и .

Ясно, что это условие является существенным, так как даже для такой

простой функции, как ≡ функция уже не разлагается в асимптотический ряд вида

,

Для того чтобы существенно расширить класс функций,

допускающих операцию деления, удобно ввести калибровочные функции с любыми целыми показателями и ряды вида

.

где — какое-нибудь целое число (возможно, и отрицательное). Так что этому классу функций принадлежат, например, функции , — это любой многочлен, не равный нулю тождественно [6].

Теорема 2.4.Пусть функции и разлагаются в асимптотические ряды вида при

.

Тогда функция также разлагается в асимптотический ряд вида при

Теорема 2.5. Пусть функция разлагается в асимптотический ряд вида при

и хотя бы один из коэффициентов Тогда функция также

разлагается в асимптотический ряд вида при

Теорема 2.6. Пусть функция определена и интегрируема по Риману на отрезке 0 разлагается е асимптотический ряд при

Тогда также разлагается в асимптотический ряд при

Теорема 2.7. Пусть функция определена при 0 , интегрируема по Риману на отрезке при всех и разлагается в асимптотический ряд при

где < 0. Тогда также разлагается в асимптотический ряд при

(Если , mo в этом равенстве первая сумма, естественотсутствует). Здесь постоянная

Теорема 2.8. Пусть функция определена и интегрируема по Риману при 0 и разлагается в асимптотический ряд при

где < 0. Тогда также разлагается в асимптотический ряд при

1.3. Преобразования Лиувилля.

1.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1.1)

в котором - действительная или комплексная переменная, -заданная функция. Все однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка могут быть приведены к этому виду подходящей заменой зависимой или независимой переменной.

Простейшее приближение получается, если предположить, что -постоянная величина. Тогда + (1.2) где А и В — произвольные постоянные. Приближение имеет такой же вид, если функция непрерывна, а рассматриваемые интервал или область достаточно малы и не содержат начала координат. Другими словами, формула (1.2) дает описание локального поведения решений. В частности, можно ожидать, что в интервале, где функция действительна, положительна и медленно меняется, решения уравнения (1.1) имеют экспоненциальный характер, т. е. могут быть записаны в виде линейной комбинации двух

решении, величины которых монотонно изменяются, причем одно возрастает, а другое убывает.

Аналогично можно ожидать, что в интервале, где функция отрицательна, решения (1.1) имеют тригонометрический (или осцилляторный) характер.

1.2. Для большинства задач приближение (1.2) слишком грубо. Мы попытаемся улучшить его, предварительно преобразовав (1.1) в дифференциальное уравнение такого же типа, в котором функция заменена функцией, изменяющейся медленнее [4].

Теорема 1.1. Пусть w удовлетворяет уравнению (1.1), -произвольная трижды дифференцируемая функция и-

W= . (1.3)

Тогда функция W удовлетворяет уравнению

,

где точка обозначает дифференцирование по .

Это утверждение проверяется прямой подстановкой. Если рассматривать как независимую переменную, то уравнение (1.01) преобразуется в

Слагаемое с первой производной исчезает, если взять новую зависимую переменную в форме (1.3). При этом уравнение принимает вид (1.1).

Преобразование, указанное в теореме, известно под названием преобразования Лиувилля. Второе слагаемое в коэффициенте перед W в (1.4) часто записывают в виде

,

где производная в смысле Шварца,

1.3. Для заданной функции добиться, чтобы коэффициент перед W в (1.4) был постоянной величиной, не проще, чем точно решить первоначальное дифференциальное уравнение (1.1). Поэтому мы ограничимся тем, что выберем так, чтобы член был постоянным, причем мы можем без потери общности считать его равным единице [4]. Тогда

(1.4)

Если предположить, что функция дважды дифференцируема то можно вычислить производную в смысле Шварца, и уравнение (1.4) принимает вид

= (1.5)

где

φ== . (1.6)

До сих пор выкладки были точными. Если же теперь пренебречь вкладом φ, то независимыми решениями уравнения (1.6) будут функции .

Возвращаясь к первоначальным переменным и замечая, что мы получаем

(1.7)

где — произвольные постоянные. Это выражение называется приближением Лиувилля — Грина (ЛГ) для общего решения уравнения (1.1). Выражения в формуле (1.8) exp и exp называются ЛГ- функциями.

Очевидно, что точность приближения (1.8) связана с величиной отбрасываемой функции φ в рассматриваемой области. Отметим следующее: можно ожидать, что величина |φ| мала и, следовательно, приближение становится более точным, если величина | достаточно мала или медленно меняется. Этим условием охватывается и случай, когда применимо более простое приближение (1.2).

Отметим сразу же важный случай, когда указанное приближение становится неприменимым: интервалы или области содержат нули функции . Очевидно, что тогда функция φ обращается в бесконечность в этих точках и приближение теряет смысл. Нули называются точками поворота или точками ветвления дифференциального уравнения (1.1).

Основанием для таких названий — является то, что когда переменные действительны, а нуль — простой (или, в более общем случае, нечетного порядка), то он отделяет интервал, в котором решения имеют экспоненциальный вид, от интервала, где они осциллируют [4].

1.4. Другой формальный путь вывода ЛГ- приближения состоит в использовании уравнения Риккати

,

которое можно получить из (1.1) с помощью подстановки w=exp . Чтобы решить это уравнение, мы сначала отбросим слагаемое и получим, что . В качестве второго приближения имеем

при условии, что . Интегрирование последнего выражения приводит к формуле (1.8).

1.5. Преобразование, определяемое формулами (1.3) и (1.5), можно применить и к дифференциальному уравнению

. (1.8)

Тогда мы получим

(1.9)

где функция определяется равенством (1.7). Так же, как и раньше, если | | | | в интересующей нас области, то можно надеяться, что выражение (1.8) приближает решения (1.9).

Мы можем, конечно, рассматривать коэффициент в (1.9) как одну функцию переменной и использовать формулу (1.8), заменяя на . Однако когда коэффициент перед w разбивается на две части, часто можно получить лучшее приближение; кроме того, упрощается вычисление интеграла в (1.8) [4].

1.4 Асимптотика решения дифференциального уравнения второго порядка.

1.1. Рассмотрим уравнение

+ , (1)

где при Будем предполагать, что при справедливо асимптотическое разложение

. (2)

Учитывая это разложение, нетрудно построить формальные ряды,

которые на бесконечности ведут себя приблизительно как или

и формально удовлетворяют уравнению (1). Будем искать такой ряд

в виде

. (3)

Так как решение однородного уравнения (1) после умножения на

постоянную снова остается решением этого уравнения, то постоянную

0 можно выбрать произвольно. Будем считать, что

(4)

Подставим ряд (3) в уравнение (1), где заменим рядом (2). После сокращения на получается формальное равенство

+

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем

рекуррентную систему уравнений:

0= ,

0= ,

…. (5)

0= ,

Из этих соотношений последовательно определяются все .

Тем самым построен ряд (3). Вообще говоря, этот ряд расходится, но можно хотя бы ожидать, что он является асимптотическим (при ) рядом для какого-нибудь решения уравнения (1).

Теорема 22.1. Существует решение уравнения (1), которое при разлагается в асимптотический ряд (3), где коэффициенты определяются соотношениями (4), (5). Это означает, что

(6)

Проверим, что ряд (3) является асимптотическим решением уравнения (1) при . Это означает, что частичная сумма ряда (3)

(7)

приближенно удовлетворяет уравнению. Более точно:

L (8)

Здесь и далее используется обозначение

+

Действительно, при подстановке всего ряда (3) в уравнение (1)

обращаются в нуль коэффициенты при всех степенях t. А отсутствующие в члены

после подстановки в оператор L образуют степени с показателем, не

превышающим ).

Рассмотрим Леммы: Лемма 1. Пусть функция = при, , г > 1, . Тогда уравнение

(9)

имеет при единственное решение порядка и для этого решения справедлива формула

. (10)

Лемма 2. Пусть функция удовлетворяет условиям леммы 1, а функция , при , α > 1.

Тогда уравнение

+[ (11)

имеет при единственное решение порядка .

Доказательство теоремы : Надо показать, что существует решение уравнения (1), которое разлагается в построенный выше формальный ряд (3). Для этого рассмотрим частичную сумму ряда (7). Как отмечено выше,

L

Функция ≡1 Согласно лемме 2 существует

решение уравнения

такое что

Поэтому их разность удовлетворяет уравнению

(1), причем Тем самым доказательство

теоремы было бы завершено, если бы функция не зависела от n.

В этом довольно легко убедиться, опираясь опять-таки на лемму 2.

Действительно, функция также удовлетворяет однородному уравнению причем

=

Согласно лемме 2 решение однородного уравнения, которое так

быстро стремится к нулю при , тождественно равно нулю.

Следовательно, , чем и завершается доказательство

теоремы.

Равенство (6) означает существование решения уравнения (1), такого что

, ,

где — решение выписанной выше рекуррентной системы (5).

1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка [6]

+ , (1)

Известно, что при достаточно широких предположениях относительно функции Q(t) можно получить асимптотические разложения решений этого уравнения при больших значениях аргумента t. Так называемый метод ВКБ позволяет получать такие разложения.

Если к уравнению (1) применить сначала второе, а потом первое преобразования Лиувилля, то главный член асимптотики будет иметь как раз вид :

.

Рассмотрим применения преобразований Лиувилля.

Теорема 1. Пусть коэффициент в уравнении (1) обладает следующими свойствами:

1) ,

2) , такое что , при

3) ∃γ, такое что

4) Существует формальное асимптотическое решение уравнения (1) вида

,

- калибровочные функции.

Тогда существует решение уравнения (1), для которого это формальное асимптотическое решение является асимптотическим разложением при

Доказательство. Перейдем в уравнении (1) к новой независимой переменной:

, (2)

после чего уравнение (1) приобретает вид

или

при зависимости вида (2).

После замены ,

,

Получим новое уравнение для функции

где связана с формулой (2).

И так условие сформулированное в теореме, является достаточным для того, чтобы формальный ряд (если он существует) являлся асимптотическим разложением некоторого решения уравнения (1).

Теперь рассмотрим, как искать формальное асимптотическое решение уравнения (1), не переходя к новой переменной. Достаточно сделать замену неизвестной функции:

=

Решение получившегося уравнения

+ =0

зачастую можно найти в виде формального ряда, первый член которого

равен единице [6].

И так, рассмотрим в качестве примера уравнение

(3)

Приложение 1

Программа на языке Delphi

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

Label10: TLabel;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit5: TEdit;

Edit6: TEdit;

Edit7: TEdit;

Button1: TButton;

Memo1: TMemo;

Edit9: TEdit;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

m:Real;

implementation

function u(x,y,z:real):real; begin

u:=z;

end;

function v(x,y,z:real):real;

begin

v:=x*z+m*ln(1+y);

end;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

i: integer;

x,x0,y,z:real;

c,cl,c2:real;

h:real;

kl,k2,k3,k4,l1,l2,l3,l4:real;

s:array[1.5] of real;

d:array[1.5] of real;

e:array[1.5] of real;

begin

h:=-0.0001;

m:=strtofloat(edit5.text);

x0:=strtoint(edit9.text);

cl:=strtofloat(edit6.text);

c2:=strtofloat(edit7.text); repeat

c:=(cl+c2)/2;

x:=x0;

s[1]:=4;

s[2]:=-s[1]*s[1]/2;

s[3]:=(s[1]*s[1]*s[1]-3*s[1]*s[2])/6;

s[4]:=(4*s[1]*s[1]*s[2]-2*(s[2]*s[2]+2*s[1]*s[3])-s[1]*s[1]*s[1]*s[1])/12;

s[5]:=(-5*(s[2]*s[3]+s[1]*s[4])+5*(s[1]*s[2]*s[2]+s[1]*s[1]*s[3])-5*s[1]*s[1]*s[1]*s[2]+s[1]*s[1]*s[1]*s[1]*s[1])/20;

d[1]:=-m*(m+1)*s[1]/2;

d[2]:=-(m*s[1]*d[1]-2*m*(-2*m-1)*s[2])/(m+2);

d[3]:=(3*m*(-3*m-1)*s[3]+m*s[1]*s[1]*d[1]-m*(s[1]*d[2]+s[2]*d[1]))/(2*m+2);

d[4]:=(4*m*(-4*m-1)*s[4]-m*(s[2]*d[2]+s[3]*d[1]+s[1]*d[3])-m*s[1]*s[1]*s[1]*d[1]+m*(s[1]*s[1]*d[2]+3*s[1]*s[2]*d[1]))/(3*m+2);

d[5]:=(-2*(-5*m)*(-5*m-1)*s[5]-m*(2*s[1]*s[1]*s[1]*d[2]+6*d[1]*s[1]*s[1])-2*m*(d[2]*s[3]+s[2]*d[3]+s[1]*d[4]+d[1]*s[4])+2*m*s[1]*s[1]*s[1]*s[1]*d[1])+2*m*(s[1]*s[1]*d[3]+s[2]*s[2]*d[1]+3*s[1]*s[3]*d[1])/2*(4*m+2);

e[1]:=(m+2)*(-m-3)*d[1]/4;

e[2]:=(-m*(2*s[1]*e[1]+d[1]*d[1])+2*(2*m+2)*(-2*m-3)*d[2])/2*(m+4);

e[3]:=(3*m+2)*(-3*m-3)*d[3]-m*(d[1]*d[2]+e[2]*s[2]-s[1]*d[1]*d[1]-s[1]*s[1]*e[1])/(2*m+4);

e[4]:=(2*(4*m+2)*(-4*m-3)*d[4]-m*(2*s[1]*s[1]*s[1]*e[2]+3*d[1]*d[1]*s[2]*s[2])-m*(2*s[1]*e[2]+2*s[3]*e[1]+d[2]*d[2]+2*d[1]*d[3]+2*s[1]*e[3])+2*m*(s[1]*s[1]*e[2]+d[1]*d[1]*s[2]+3*s[1]*d[1]*e[1]+3*s[1]*e[1]*s[2]))/2*(3*m+4);

e[5]:=((5*m+2)*(-5*m-3)*d[5]-m*(s[1]*s[1]*e[3]+s[1]*d[2]*d[2]+d[1]*d[1]*s[3]+e[1]*s[2]*s[2]+2*s[1]*d[1]*d[3]+2*s[1]*e[1]*s[3]+2*s[1]*s[2]*e[2]+2*d[1]*s[2]*d[2]+4/3*s[3]*s[3]*s[3]*d[1]*d[1]+2/3*s[1]*s[1]*s[1]*s[1]*e[1]))/(4*m+4);

y:=0;

for i:=1 to 5 do

y:=y+(s[i]/c*exp((-i*m)*ln(x0))+d[i]/c*exp((-i*m-2)*ln(x0))+e[i]/c*exp((-i*m-4)*ln(x0)));

z:=0;

for i:=1 to 5 do

z:=z+(-(i*m)*s[i]/c*exp((-i*m-1)*ln(x0))

-(i*m+2)*d[i]/c*exp((-i*m-3)*ln(x0))

-(i*m+4)*e[i]/c*exp((-i*m-5)*ln(x0))); repeat

kl:=h*u(x,y,z);

l1:=h*v(x,y,z);

k2:=h*u(x+h/2,y+kl/2,z+l1/2);

l2:=h*v(x+h/2,y+kl/2,z+l1/2);

k3:=h*u(x+h/2,y+k2/2,z+l2/2); // 12

l3:=h*v(x+h/2,y+k2/2,z+l2/2); // 12

k4:=h*u(x+h,y+k3,z+l3);

l4:=h*v(x+h,y+k3,z+l3);

y:=y+(kl+2*k2+2*k3+k4)/6;

x:=x+h;

z:=z+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;

until x<0;

Memo1.Lines.Add('c = '+FloatToStr(c)+' : ó='+FloatToStr(y)); if y<1 then c2:=c else cl:=c;

until (abs(cl-c2))<0.00000001;

edit1.Text:=floattostr(y);

edit2.Text:=floattostr(z);

edit3.Text:=floattostr(c);

edit4.Text:=floattostr(round(x*10)/10);

end;

end.