«Система уравнений ламэ в области с малым отверстием»

В работе рассматриваются краевые задачи для системы уравнений Ламэ с граничными условиями Дирихле и Неймана на границе малого отверстия и соответствующие им предельные задачи. Основным результатом проведенной работы является доказательство сходимости решений краевых задач для системы уравнений Ламэ в сингулярно возмущенной области. Результаты исследования сформулированы в виде двух теорем.

Часть работы была опубликована в сборнике трудов "Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" том 1- математика.

Для (1) и (2) назовем предельной краевую задачу

, , , , (3)

где и – -мерные вектор-функции с компонентами, определенными на . Пусть Q-односвязная ограниченная область в . Далее под будем понимать пространство -мерных вектор-функций, компоненты которых являются вещественными квадратично интегрируемыми по Лебегу функциями. Норма в определяется равенством:

= .

Под и будем понимать соответственно пополнения пространств -мерных вектор-функций с компонентами из и по норме

, где .

Пусть , тогда под будем понимать пополнение вектор-функций с компонентами из , обращающихся в нуль в окрестности , по норме .

Так как, продолжив вектор-функции и нулем в , получим элементы из и , то за этими продолжениями будем сохранять их первоначальные обозначения.

Доказательство однозначной разрешимости краевых задач (1),(2) и (3) можно найти в [1].

Основным результатом работы является доказательство следующих утверждений.

Теорема 1. Пусть . Тогда

a) для решения возмущенной задачи (1) справедлива равномерная по оценка

, (4)

где константа не зависит от ;

б) если при , то для решений краевых задач (1), (3) имеет место сходимость

. (5)

Теорема 2. Пусть . Тогда

a) для решения возмущенной задачи (2) справедлива равномерная по оценка

, (6)

б) если при , то для решений краевых задач (2), (3) имеет место сходимость

. (7)

Далее всюду будем рассматривать обобщенные решения краевых задач, понимаемые в смысле интегрального тождества.

Обозначим U V:= .

Определение 1. Пусть . Обобщенным решением краевой задачи (3) называется вектор-функция удовлетворяющая интегральному тождеству

(8)

для любой вектор-функции .

Определение 2. Пусть . Обобщенным решением краевой задачи (1) называется вектор-функция удовлетво-ряющая интегральному тождеству

(9)

для любой вектор-функции .

Определение 3. Пусть . Обобщенным решением краевой задачи (2) называется вектор-функция удовлетво-ряющая интегральному тождеству (9) для любой вектор-функции .

§ 2. Доказательство первого пункта теорем 1 и 2

Лемма 1 (Неравенство Фридрихса). Пусть Q ограниченная область в с бесконечно дифференцируемой границей. Тогда для любой вектор-функции справедливо неравенство

.

Доказательство этой леммы можно найти, например, в [2], [3].

Заметим, что, так как продолжив элементы из нулем в , получим элементы из , то C( ) C( ). Следовательно, для любой вектор-функции справедливо неравенство

. (10)

С помощью неравенства Фридрихса (10) получаем, что

.

То есть,

. (11)

В силу интегрального тождества (9) при будем иметь

. (12)

Установим теперь оценку (4). Для этого воспользуемся неравенства-ми (11) и (12). Имеем

.

Следовательно,

, где .

Первый пункт теоремы 1 доказан.

Установим теперь оценку (6). Ясно, что для этого достаточно доказать аналог неравенства (10) для функций из пространства :

, (13)

где постоянная не завист от .

Известно (см., например, [4]), что минимальное собственное значение краевой задачи

, , , , ,

определяется равенством

.

Из последнего равенства следует, что

.

В работе [5] показана сходимость к , где - минимальное собственное значение краевой задачи

, , , .

Отсюда и из последнего неравенства следует оценка (13) с константой .

§ 3. Доказательство второго пункта теоремы 1

Пусть Q ограниченная область в с бесконечно дифференцируем-ой границей. В пространствах и определим следующие скалярные произведения

, .

Таким образом, пространства и являются гильбертовыми. Очевидно, что эти скалярные произведения индуцируют ранее определен-ные нормы в этих пространствах.

Пусть - гильбертово пространство. Обозначим через ска-лярное произведение в .

Определение 4. Последовательность , слабо сходится к элементу в при , если при для любого элемента .

Определение 5. Множество называется компактным в гиль-бертовом пространстве , если любая последовательность его элементов содержит фундаментальную в подпоследовательность.

Утверждение 1. Любое ограниченное множество гильбертова пространства – слабо компактно.

Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [6].

Имеет место следующая лемма.

Лемма 2 (Реллиха). Ограниченное в множество вектор-функций компактно в .

Доказательство этой леммы можно найти в [4].

Обозначим через шар с радиусом равным и центром в начале координат.

Хорошо известен следующий факт.

Лемма 3. Пусть функция . Тогда существуют функции , тождественно равные нулю в и сходящиеся в норме H1(Q) к при .

Очевидно, что лемма 3 справедлива и в случае, когда v вектор-функция.

Пусть произвольная последовательность, сходящаяся к нулю при . Положим . По условию при . Из (4) следует, что множество ограничено в , где . Следовательно, в силу леммы 2 существует подпоследовательность и функция такие, что имеет место сходимость

в сильно и слабо в при . (14)

Заметим, что так как, продолжив вектор-функции и нулем в получим элементы из и соответственно, то для рассматриваемой возмущенной краевой задачи (1) интегральное тождество (9) можно переписать в виде

. (15)

Не ограничивая общности, будем считать, что . Подставляя при в (15) элемент , где удовлетворяет условию леммы 3, и переходя к пределу при , в силу (14), условия второго пункта теоремы 1 и леммы 3 получаем, что

.

Следовательно, решение предельной задачи (3). В силу единственности решения краевой задачи (3) .Так как последовательность была выбрана произвольно, то получим, что

в сильно и слабо в при . (16)

С помощью неравенства (13) получаем, что

.

То есть,

, где .

Следовательно,

. (17)

В силу интегральных тождеств для возмущенной и предельной краевых задач (1) и (3), условия второго пункта теоремы 1 и сильной сходимости в (см. (16)) при имеем

. (18)

В силу (17) и (18) будем иметь

при .

Теорема 1 доказана.